高等代数6-9小结与习题.ppt

例8.设 的两个子空间为 求 与 的基与维数. 五、直和的判定或证明 1、定义法 2、利用几个充要条件 六、线性空间同构的判定或证明 1、证维数相等 2、构造同构映射 例9：设A是数域P上的n阶矩阵，令 ， 证明： 当且仅当 例10：设 证明:实数域上矩阵A的全体实系数多项式 f(A)组成的空间 与复数域C作为实数域上的线性空间同构。 例题选讲 例2：证明： 当且仅当 或 . 《 高 等 代 数 》 第六章内容小结 一、线性空间的定义与基本性质 二、维数，基与坐标 三、子空间及其形成 四、线性空间的同构 主要内容 重点：线性空间的概念、子空间的和（直和）、基与维数 一、线性空间的定义与基本性质 1、线性空间的定义 2、线性空间的简单性质 (1)线性空间的零元素、每个元素的负元素都是唯一的. (2) 二、维数，基与坐标 1、基本概念 2、基本结论 (1) 线性相关的有关结果. 线性表出（组合）、向量组的等价、线性相关（无关）、 维数、基、坐标、过渡矩阵 (2) n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都是V的一组基； 任意多于n个向量都是线性相关的. 任意m( )个线性无关的向量都可以扩充为V的一组基； 且V中任一向量都可由它线性表出，则V是n维的，而 (3) 若线性空间V中有n个线性无关的向量 就是V的一组基. (4)过渡矩阵与坐标变换的有关结论 是V的两组基，且 　在这两组基下的坐标分别为 则　　　　　　　或 三、子空间及其形成 (2) 子空间的交与和仍为子空间. 1、基本概念 2、基本结论 (1) 线性空间V的非空子集W作成V的一个子空间 线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和 即W对于V的两种运算封闭. (3) 维数公式─ V1,V2为线性空间V的两个子空间，则 (4)生成子空间的有关结论 ① 且向量组 的一个极大无关组就是生成子空间 ② 的一组基． ③ 为线性空间V的一组基，若 则 (5)U是线性空间V的一个子空间，则一定存在子空间W，使 ② 零向量分解式唯一，即 ④ ①　 　　　　是直和 (6) 　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面条件是等价 ③ 四、线性空间的同构 1、同构映射及线性空间同构的概念 2、同构的基本性质 (1) 线性空间的同构映射保持零元、负元、线性组合、线性 相关性. (2) 同构映射将子空间映为子空间. (3) 同构映射逆映射仍为同构映射； 同构映射的乘积仍为同构映射. (4) 数域P上的任一n维线性空间都与Pn同构. (5)两个有限维线性空间　　　同构 基本内容之间内在联系示意图 线性空间 线性相关性 线性子空间 极大线性相无关组 子空间的交与和 维数、基与坐标 线性空间的同构 子空间的直和 余子空间 一、线性空间线性子空间的判定或证明 二、线性相关性的判定或证明 三、基与维数的确定 四、过渡矩阵及向量坐标的求法 基本题型 五、直和的判定或证明 六、线性空间的同构的判定或证明 一、线性空间、线性子空间的判定或证明 1、用线性空间的定义判定（逐条检查） 例1、集合 2、利用子空间形成的条件来证 证明：V关于矩阵的加法和数量乘法构成数域P上的线性空间. （分析：由于 　　　　，只需证V是的 　子空间即可.） 证：显然，　　　　　　又 任取　　　　　　　　　　并设 则 故V是的 　一个子空间，从而V是数域P上的线性空间. 二、线性相关性的判定或证明 在很多情况下可通过转化为线性方程组相应问题来解决. 1、定义法：考察 　　　　　　　　 是否有非零解. 如，在Pn中，设 则，　　　　　　线性无关 只有零解， 2、初等变换法 3、利用向量组等价具有的共性，借助已知向量组 的线性相关性来判定. 线性无关， 线性无关 只有零解 例2：讨论 中的矩阵组 的线性相关性. 例3：设V是实数域R上所有实函数构成的线性空间，讨论V中的 函数组 的线性相关性. 例4：设 中矩阵组 ， ， ， ， 的秩和一个极大无关组. 三、基与维数的确定 1、　　　　　为线性空间V中的一组向量，则 为V的一组基 线性无关，且V中任意n+1个向量线性相关 线性无关，且V中的任一向量可由它们线性表出 线性无关，且 V