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数列的最大项与最小项05 数列的最大项与最小项05 数列的最大与最小项问题 学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法： 1．直接求函数a n =f (n ) 的最大值或最小值，根据f (n ) 的类型，并作出相应的变换， 运用配方、重要不等式性质或根据f (n ) 本身的性质求出f (n ) 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对f (n ) 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对f (n ) 所在的函数f (x )(x 0) 求导，得到f (x ) 的最值，然后再分析f (n ) 的最值. 2．考察f (n ) 的单调性：f (n +1) -f (n ) 0(或 3．研究数列a n =f (n ) 的正数与负数项的情况，这是求数列{a n }的前n 项和S n 的最大 值或最小值的一种重要方法. [例1]首项为正数的等差数列{a n }，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项 [解法一]记{a n }的前n 项和为S n ，∴S 4=S 11, 4?311?101 d =11a 1+d ?d =-a 1 a n (n -1) 1 ∴S n =na 1+?(-a 1) =1(-n 2+15n ) 2714 a 15225=1[-(n -) 2+],1424 ∴n =7或n =8时, S n 最大, [解法二]由解法二知d =- S 4=S 11?a 5+a 6+ +a 11=0?7a 8=0∴a 1a 2 a 7a 8=0, 而0=a 8a 9a 10 ∴{a 7}中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数， 而S 7=S 8, ∴S 7或S 8最大. [评析]解法一抓住了S n =f (n ) 是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二 通过考察{a n }的单调性与正、负项的情况得到最大项. [例2]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12, S 120, S 130, （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出S 1, S 2, , S n 中哪一个最大？说明理由； （III ）指出 S S 1S 2 , , , n 中哪一个最小？说明理由. a 1a 2a n 6(a 1+a 12) =3(a 6+a 7) 0?a 6+a 70①， [解析]（I ） S 120? ?2a 3+7d 024 7?a 3+4d ?a 6-a 70 （II ）由①、②得?, 而d a a 2 a 60a 7a 8 , ∴S 1S 7S 8 , 故S 6最大; （III ） S 1S 7S 8 S 120S 13S 14 , ∴在S n S S S }中, 只有7, 8, , 12这六项为负值，而其余各项均为正数， a n a 7a 8a 12 }的最小项只可能是这六项中的一项， a n ?S 7S 8 S 120 S 7S 8S 12? -- -0 ?1?11 a 7a 8a 12 ?-a -a -a 0 S 7S 8S S S [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法. [例3]设n ∈Z ，当n 是什么数时， S n =|n -1|+|n -2|+|n -3|+ +|n -100|取最小值，并说明理由. [解析]（1）当n ≤0时S n ≥1+2+ +100=5050; （2）当n ≥1时，考察{S n }的单调性， S n +1-S n =(|n |+|n -1|+ +|n -99|)-(|n -1|+|n -2|+ +|n -100|)=n -|n -100|, ①当n ≥100时, S n +1-S n =1000, {S n }单调递增， ∴当n ≥100时, S n ≥S 100=4950; ∴当1≤n ≤49时S n +1 当26≤n S n , {S n }单调递增； 而当n =50时S 51=S 50=49+48+47+ +1+0+1+2+3+ +49+50 = 49?5050?51 +=250. 0 22 综上，当n =50或n =51时，(S n ) min =