高中数学一题多解经典题型汇编.docx

【典例 【典例 1】设 A、B 是全集 U 的两个子集，且 A B，则下列式子成立的是（ ） A ． CU A CU B B． CU A CU B U C． A CU B D． CU A B 解法一：运算法 A. CU A CBA CU B CU B CU A ，A 错误 B. CU A A U 或 CU B B U ， B 错误 C. A B A B A，又 CU B B CU B A ，C 正确 D. A B A B A CU A B ， D 错误 解法二：特殊值法 由题意，不妨设 U {1,2,3}, B {1,2}, A {1} ，则 CU A A. CU B { 2,3} { 3} { 3} { 2,3} CU B CU A ，A 错 误 CU A B. CU B { 2,3} { 3} CU B CU A { 2,3} { 1,2,3} U ， B 错误 C. CU B {3}, A {1} CU B A ， C 正确 D. CU A { 2,3}, B {1,2} CU A B { 2} ， D 错误 U 解法三：韦恩图法 A B 如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误 . ◆◇方法解读 ◇◆ 解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。 解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。 【典例 【典例 2】已知 (1 i) z 3 2i （ i 是虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对于的点位于第象限 . 解法一：复数的四则运算法 (1 i ) z 3 2i z 3 2i i (3 (1 2i )(1 i ) (3 2) (3 2 2 )i 1 i )(1 i ) 3 2 3 2 i 2 2 z 3 2 2 3 2 i 2 第四象限 . 解法二：利用相等复数法（待定系数法） 设复数 z a bi ，则 z a bi (1 i ) z 3 2i (1 i )( a bi ) 3 2i (a b) ( a b)i 3 2i 2 a b 3 a 3 2 2 z a bi 3 2 3 2 i 第四象限 . (a b) 2 b 3 2 2 2 ◆◇方法解读 ◇◆ 解法一：先通过解方程得出复数 z的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。 解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a， b 的值，这种方法在有些时候非要有用。 【典例3】若变量 x，y满足约束条件 y 2x 2x y 1，则 z=3x+y的最大值是． y 1 解法一：解方程法 y 2x 将原式的不等号看成等号，得 2x y 1 ① ② y 1 ③ x 1 由①②，得y2x2xy41z13xy 3y12 由①②，得 y 2x 2x y 4 1 z1 3x y 3 y 1 2 1 1 4 2 5 4 由①③，得 y y 2x 1 x 1 2 1 z2 3x y 3 1 2 ( 1) y 5 2 由②③，得 2x y y 1 1 x 1 y 1 z 3 3x y 3 1 ( 1) 2 解法二：作图法 y y 2x O x P y 1 2x y 1 y 3x z 由 由 图可 知，只 有当待 定直 线 y 3x z 过 点 P(1, 1) 时， 直线的 截距 b z 才 最 大，即 zman 3x y 3 1 ( 1) 2 . ◆◇方法解读 ◇◆ 解法一：解方程法虽然来得快，但是并不是所有线性规划题型都适用，具有一定的局限性。 解法二：作图法比较直观，但是很多同学作图不规范、区域找不准也容易造成丢分。因此 一定要掌握好作图法的精髓，避免不必要的丢分。 【典例 4】当 0 x 2 时，函数 y x( 6 3x) 的最大值是． 解法一：二次函数图像法 y x(6 3x) 3x 2 6x x对 b 2a 6 1 2 ( 3) y3 y 3 y 3x2 6x, x O 2 x x对 1 f f ( x) max f (1) 3 . 解法二：均值不等式法 由不等式 ab a b 2 知 2 , a, b R y x(6 3x) 1 3 3x(6 3x) 1 3 3x (6 2 3x) 2 当且仅当 3x 6 3x ，即 x 1 时，等号成立 故 f ( x) max f (1) 3 . 解法三：单调性法（求导法） 已知函数的定义域为 (0,2) ，则 f ( x) 3x2 6 x f (x) 6x 6 f ( x) 0 f ( x) 0 6x x 6 2 0 0 x 1 1 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,2) 单调递减 f (x)max f (1) 3 . ◆◇方法解读 ◇◆ 解法