高等代数7-3线性变换的矩阵.ppt

例3.设 为线性空间V一组基， 线性变换　在 这组基下的矩阵为 为V的另一组基，且 （1）求 在 下的矩阵B. （2）求 解：（1）由定理4，　在基　　　下的矩阵 （2）由　　　　　　有　 于是 例4.在线性空间 　中，线性变换　定义如下：　 （1）求 在标准基　　 下的矩阵. （2）求　在　　　　下的矩阵. 解：（1）由已知，有 设 在标准基　　 下的矩阵为A，即 因而， （2）设　在 　　　下的矩阵为B，则A与B相似，且 《 高 等 代 数 》 一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意 　　　存在唯一的一组数 1．设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V 使 从而， 由此知，　　由 　　　　　　　完全确定. 一组基在　下的象即可. 所以要求V中任一向量在　下的象，只需求出V的 2．设　　　　　是线性空间V的一组基，　　为 V的线性变换，若 则 由已知，即得 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 证： 定义 都存在线性变换　使 任意n个向量 3．设　　　　　是线性空间V的一组基，对V中 易知　为V的一个变换，下证它是线性的. 任取　　　　　设 则 于是 为V的线性变换. 又 由2与3即得 定理1　设　　　　为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量　　　　　　存在唯一的线性 变换　　使 设　　　　　为数域P上线性空间V的一组基， 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵 其中 ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； ① A的第i列是　　 在基　　　　　下的坐标， 矩阵A称为线性变换　在基　　　　　下的矩阵. 注： 它是唯一的. 故　在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 例1. 设线性空间　 的线性变换　为 求　在标准基　　　　下的矩阵. 解： 例2. 设　　　　　　　　为n维线性空间V的子空 间W 的一组基，把它扩充为V的一组基： 并定义线性变换　： 则 称这样的变换　为对子空间W的一个投影. 易验证 2．线性变换运算与矩阵运算 定理2 设　　　　为数域P上线性空间V的一组 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与　　 中 ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 证：设　　为两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别为A、B，即 ① 　∴　　 在基 下的矩阵为A＋B. ② ∴ 　 在基 下的矩阵为AB. ③ ∴　　 在基 下的矩阵为 ④ 由于单位变换(恒等变换)　对应于单位矩阵E. 相对应. 因此，可逆线性变换　与可逆矩阵A对应，且 所以， 与　　AB＝BA＝E 逆变换　 对应于逆矩阵 注： 事实上，任意取定V的一组基　　　　　后， 对任意　　　　，定义　： 这里A为　在基　　　　　下的矩阵. 则　就是　　到　　的一个同构映射. 3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象 定理3 设线性变换　在基 　　　　下的矩阵为A, 在基　　　　　下的坐标为　 在基　　　　　下的坐标为　 则有 证：由已知有 又 由于 线性无关，所以 4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则 (Ⅱ) (Ⅰ) 定理4 设线性空间V的线性变换　在两组基　　　　　 证：由已知，有 于是， 由此即得 三、相似矩阵 1．定义 设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 　 使得 则称矩阵A相似于B，记为 （1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： ② 对称性： 2．基本性质 ③ 传递性： （2） 定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的； 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.　 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作 证：前一部分显然成立. 下证后一部分. 设 且A是线性变换 在基 　　　　下的矩阵. 显然， 也是一组基， 矩阵就是B. 且　在这组基下的 （3）相似矩阵的运算性质 ① 若