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高中数学竞赛辅导讲座系列 高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称 集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x在集合 A中，称 x属于 A，记为 x A，否则称 x不属于 A，记作 x A 。例如， 通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集， 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用 逗号隔开表示集合的方法，如 {1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在 大括号内表示集合的方法。例如 {有理数}，{xx 0}分别表示有理数集和正实数 集。 定义2 子集：对于两个集合 A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集 合B中的元素，则 A叫做B的子集，记为 A B ，例如 N Z 。规定空集是任 何集合的子集，如果 A是B的子集，B也是A的子集，则称 A与B相等。如果A是B的子集，而且 B中存在元素不属于 A，则A叫B的真子集。 定义 3 交集， A B { x x A且x B}. 定义 4 并集， A B { x x A或x B}. 定义5 补集，若A I, 则C1A { xx I,且x A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义6 差集，A B { xx A,且x B} 。 定义7 集合{xa x b,x R,a b} 记作开区间 (a, b) ，集合 { xa x b,x R, a b} 记作闭区间 [ a, b] ，R 记作 ( , ). 定理1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1）A (B C) (A B) (A C); （ 2）A (B C) (A B) (A C)； （3） C1A C1B C1(A B); （4） C1A C1B C1 (A B). 【证明】这里仅证（ 1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若 x A (B C ) ，则 x A，且 x B 或 x C，所以x (A 或 x (A ，即x (A B) (A C)；反之，x (A (A C )，则x (A B) 或x (A ，即 x A 且 x B 或 x C ， 即 x A且x (B C) ，即 x A (B C). （3）若 x C1A C1B，则 x C1 A 或 x C1 B ，所以 x A 或 x B ，所以 x (A B) ， 又 x I ，所以 x C1 (A B) ，即 C1A C1B C1( A B) ，反之也 有C1(A B) C1 A C1 B. 定理2 加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有 m1种不同的方法， 第二类办法中有 m2种不同的方法， ?，第 n类办法中有 mn种不同的方法，那么 完成这件事一共有 N m1m2 mn 种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二 步有 m2种不同的方法， ?，第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N m1 m2 mn种不同的方法。 二、方法与例题 利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设M {aa x2 y2,x,y Z} ，求证： （1）2k 1 M ,(k Z )； （2）4k 2 M ,(k Z )； （3） 若 p M ,q M，则pq M. [证明]（1）因为 k,k 1 Z，且2k 1 k2 (k 1)2，所以2k 1 M. 假 设 4k 2 M(k Z ) ，则存在 x, y Z， 使4k 2 x2 y2，由于x y 和x y有相同的奇偶性，所以x2 y2 (x y)(x y)是奇数或 4的倍数，不可能 等于 4k 2，假设不成立，所以 4k 2 M. 2 222设p x 2 2 2 2 y2,q a2b2,x,y,a,b Z ， 则 pq (x2 y2 )(a2 b2 ) 2 22 22 2a 2 2 2 2 2 2 ya (xa yb) (xb ya) M （因为 xa ya Z,xb ya Z ）。 利用子集的定义证明集合相等，先证 A B，再证 B A ，则 A=B。 例2 设A，B是两个集合，又设集合 M满足 A M B M A B,A B M A B，求集合 M（用 A，B表示）。 【解】先证(A B) M， 若x (A B)，因为A M A B，所以 x A M,x M，所以(A B) M； 再证 M ( A B) ， 若 x M ， 则 x A B M A B.1）若 x A ，则 x A M A B；2）若 x B，则x B M A B。所以 M (A B). 综上， M A B. 分类讨论思想的应用。例 3