高中数学必修5全套教案.docx

[ 探索研究 ] 在初中，我们已学过如何解直角三角形， 下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。如图 1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义，有 a c sin A，b c sin B ，又 sin C 1 c, c 则 a b c c b c sinA sinB sinC 从而在直角三角形 ABC中， a b c sinA sin B sinC C a B ( 图 1． 1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD=asin B bsin A,则 a b ， C sinA sinB 同理可得 c b ， b a sinC sinB 从而 a b c sinA sinB sinC A c B ( 图 1． 1-3) 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a b c [ 理解定理 ] sinA sin B sinC 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k使a ksin A，b ksin B，c k sin C； a b sinA sin c B sinC等价于 a b c b a c sinA sin B ，sinC sin B ，sinA sinC 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 bsinA asin B； a ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sinA a sin B。 b 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形。 [ 例题分析 ] 例1．在 ABC中，已知 A 32.00 ，B 81.80 ，a 42.9 cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理， asinB sinA 42.9sin81.80 sin32.00 80.1(cm) ； 根据正弦定理， asinC 42.9sin66.2 0 sinA sin32.00 74.1(cm). 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2．在 ABC中，已知a 长精确到 1cm）。 解：根据正弦定理， 20cm， b 28 cm， A 400 ，解三角形（角度精确到 10 ，边 sinB bsinA a 28sin400 20 0.8999. 因为 00 ＜ B ＜ 1800 ，所以 B 640，或 B 1160. ⑴ 当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (400 640) 760， 0c asinC sinA 0 20sin760 sin400 30(cm). ⑵ 当 B 116时， C 1800 (A B) 1800 (400 1160) 240， c asinC sinA 20sin240 sin400 13(cm). [补充练习]已知 ABC中，sin （答案： 1： 2： 3） （2）正弦定理的应用范围： A:sin B:sin C 1:2:3 ，求 a: b: c ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a，CA b，AB c，那么c a b，则 b c 2 c c c a b a b aa bb 2 2 a b 2ab 2a b C a B 从而 c2 a2 b2 2abcosC ( 图 1．1-5) 同理可证 a2 b2 于是得到以下定理 b2 c2 2bc cosA a2 c2 2accosB 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即 a2 b2 c2 2bc cosA b2 a2 c2 a2 c2 2accos B b2 2abcosC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量， 可以求出第四个量， 能否由三边求出一角？ b2 b2 c2 2bc a2 a2 c2 2ac b2 b2 a 2 c2 2ba cosA [ 理解定理 ] cosB cosC 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 222思考：勾股