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方波信号的化验 方波信号的化验 （原创）方波信号的“化验”（图） 在IT （信息技术）领域，方波信号是一种最典型的理想周期信号，在工程技术中有广泛的应用，常称之为“周期矩形脉冲”。其时域波形如下图所示： 图1 周期矩形脉冲的时域波形 其中信号周期为T ，脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E 。如果用数学方法对周期矩形脉冲信号“化验”一下，便可知其主要成分为一个正弦波信号： 其圆频率ω1=2π/T恰恰就是方波信号的圆频率。这种频率（或周期）与方波信号相同的正弦波成分，我们称之为方波信号的基波，基波成分的频率叫做基频。如下图所示： 图2 周期矩形脉冲的基波 “化验”的结果表明，除了基波成分外，周期矩形脉冲信号中还包含有： 频率为基频2倍的正弦波成分，称之为2次谐波： 频率为基频3倍的正弦波成分，称之为3次谐波： 还有4次谐波、5次谐波、6次谐波……等等。我们统称之为高次谐波。一般地，频率为nω1的第n 次谐波成分可表示为 其中n=2，3，4，…。 除了上述的基波和高次谐波成分外，周期矩形脉冲信号中还含有直流成分F0。 综上所述“化验”结果，可见周期矩形脉冲信号是由直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分叠加组成的。可表示为 通常我们更重视各频率成分的能量分配，而不计较其相位，所以用各频率成分的振幅大小来描述方波信号的“化验”结果，科学上称之为振幅频谱函数。数学表达式如下： 对于方波信号，我们可以从理论上计算出上述各频率成分的振幅值为 根据式（7）可以画出方波信号的振幅频谱图如下： 图3 周期矩形脉冲信号的频谱示意图 最典型的周期矩形脉冲信号是脉冲宽度τ占周期T 的一半，即T ＝2τ，其振幅频谱图如下图所示： 图4 周期矩形脉冲信号（T=2τ）的频谱示意图 周期信号可不止方波信号一种，对于一般的周期信号，如何“化验”它们的频率成分呢？且听下回分解。 （原创）傅立叶级数（图） 上一回说到，周期矩形脉冲信号可以分解成直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加。那么对于一般的周期信号，如何“化验”它们的频率成分呢？本文介绍的数学工具――傅立叶级数（Fourier Series ，简称FS ）就是法宝。 一、傅立叶级数 数学理论上的傅立叶级数概念是说：对于一个周期为T 的周期函数f T （t ），不妨如下图所示： 图1 一般周期函数的时域波形示意图 在一定条件下可以展开为傅立叶级数之和，即： 其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为 在信号分析理论中a0叫做直流分量，an 叫做余弦分量系数，bn 叫做正弦分量系数。 注意：数学上周期函数fT （t ）在连续点t 处展开为傅立叶级数的条件是，满足如下的狄利克雷（Dirichlet ）条件： 1、函数fT （t ）在（－T/2，T/2）上连续或只有有限个第一类间断点（左右极限都存在）； 2、函数fT （t ）在（－T/2，T/2）上只有有限个极值点。 二、周期信号的频谱 根据傅立叶级数的概念，如果周期信号满足狄利克雷条件，则可以分解为傅立叶级数之和，即可分解成无穷多种频率成分的正弦函数的叠加： 其中n=1时，频率ω1=2π/T的成分叫做基波，可表示为 同理，第n 次谐波成分可表示为 此外，由傅立叶级数可知，周期信号fT （t ）一般还包含直流分量，其幅值为周期信号在一个周期上的平均值： 综上所述，对于一个周期信号fT （t ），一般可以分解成直流分量、基波和无穷多个高次谐波分量的叠加。各次谐波的频率nω1是基频ω1的整数倍；各次谐波的振幅一般也不同，通常高次谐波分量的幅值较小。 这样，时域的周期函数fT （t ）也可以用频域的频谱函数表示为 其振幅频谱图的一般示意图如下： 图2 一般周期信号的振幅频谱示意图 当然，根据式（8）和（11）也可以画出周期函数的相位频谱图。 显然，一般周期函数fT （t ）的频谱是离散频谱，相邻谱线的频率间隔等于基频ω1。实际IT 工程技术中，许多时域周期信号都满足狄利克雷条件，都可以展开为傅立叶级数，从而方便地确定其频谱。 上述的傅立叶级数表达式是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式。且听下回分解。 原创）傅立叶级数的指数形式（图） 上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS ）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便