比例线段和黄金分割.docxVIP

比例线段和黄金分割 比例线段和黄金分割 比例线段与黄金分割学习指导 在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本单元中，我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础． 1．经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念； 2．通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系； 3．“黄金分割”是《课程标准》重点提出的内容．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带． 4．熟练掌握下列性质： （1）如果?，那么ad?bc； （2）如果ad?bc（a、b、c、d都不等于0），那么?； aca?bc?d （3）如果?，那么； ? bdbdacma?c?????ma （4）如果??????(b?d?????n?0)，那么?． bdnb?d?????nb （5）如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC? AB?0.618AB． 2 1．如果选用 量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么m∶n就叫做 比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的 没有关系． 2．在地图或工程图纸上， 长度与 长度的比通常称为比例尺． 3．四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a、b、c、d叫做 ，简称 ． 4．如果点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC∶AB= ；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于10cm，那么它的宽等于 ． 例1．如图13-1，是南京路上的沙滩排球场地，它的长26米、宽18米，用塑料布垫底、木板铺盖的保护下，堆积了厚约40厘米的中沙约300吨．露天赛场将为步行街每日上百万人次免费观看比赛提供机会，这不但为都市广场文化注入了新颖时尚的元素，也为沙滩排球的发展提供了绝佳的宣传机会．求（1）沙滩排球场地的长与宽之比；（2）沙滩排球场地的宽与对角线长度之比． 解：（1）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米， ??； 宽189 （2）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米， ∴对角线长度=长2?宽2=262?132??29（米）， ∴ 答：沙滩排球场地的长与宽之比为 1318，沙滩排球场地的宽与对角线长度之比为． 929 例2．1米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长0.8米，此时电视发射塔在阳光下的影．． 子长100米，求这个电视塔的高度． 分析：在同一时刻下，直立在地面上的物体高度与该物体在阳光下的影子长度之比都相等．所以，根据物体高度与它在阳光下的影子长度之比相等，便可利用比例线段求得电视塔的高度． 解：根据题意，得 标杆高度电视塔高度1电视塔高度 标杆影子长度电视塔影子长度0.8100 ?125米． 0.8 答：电视塔的高度是125（米）． 注意：“线段的比”与“比例线段”是两个不同的概念，解题时必须注意其细微的差别．例1中“长与宽之比”和“宽与对角线之比”都是指两条线段的比；例2是指两种物体高度与它们影子长度对应成比例． 例3．已知5a=4b，求： a?ba?ba?b（1）； （2）； （3）． a4aca?bc?d 分析：由5a=4b，容易想到?，再利用“如果?，那么”便可使问题顺利获解． ? 解：由5a=4b，得?． a?b4?51a?b4?59 ∴（1）?????①； （2）??；??②； （3）①÷②=?5??． 注意：1．“如果?，那么ad?bc”是一个十分重要的性质，反指“如果ad?bc，那么?” 亦成立．所以解题时可以根据需要，相互转化． 2．本例还可以“设元”求解（设a=4k，则b=5k），同学们不妨一试． a?bb?cc?a 例4．已知???k (a?b?c?0)，求k的值． caba?bb?cc?a 解：∵???k，且a?b?c?0， caba?b?b?c?c?a∴?k，即k?2． 想一想：若将上例中“a?b?c?0”这个条件去掉，会发生什么变化？ acma?c?????ma 注意：“如果??????(b?d?????n?0)，那么?”中的a?b?c?0这个条件