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数模-足球队排名 数模-足球队排名 一．问题的提出 二．问题的重述 三．模型的假设 五．模型的建立和求解 六．模型的评价与推广 本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3?.Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。 关键词：竞赛图 、邻接矩阵、最大特征值、特征向量 一、 提出问题 附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求： （1） 保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出 来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。 （2） 稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。 （3） 能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位 不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平 （4） 能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为 成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。 （5） 能够判断成绩表的可约性。 （6） 容忍不一致现象 （7） 对数据可依赖程度给出较为精确的描述。 二、 问题的重述 下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一） 1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果 2) 把算法推广到任意N 个队的情况 3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次 1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T12 2) 符号 X 表示两队未曾比赛 3) 数字表示两队比赛结果如T3 行与T8 列交叉处的数字表示T3 与T8 比赛 了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1 三、 模型的假设 根据建边情况，可建立矩阵A=aij如下： 1）aii=0； 2）当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=0； 若Ti，Tj之间未建边，则aij、 aji不计数 则建立A的矩阵如下表所示： T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T1 0 0 1 1 1 0 0 1 T2 0 0 1 1 1 0 T3 1 1 0 1 1 1 0 1 1 T4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T5 0 0 1 0 0 T6 0 0 0 1 1 0 T7 1 1 1 0 1 1 1 1 T8 1 0 1 0 0 1 T9 0 0 1 0 0 1 1 T10 1 0 1 0 0 0 1 T11 0 0 0 0 0 T12 1 0 0 0 1 (2)、对i从1到n计分，其计算得分量为ai，然后再计算其二级的分量a（2）i其计算结果如下： 一级得分向量： （a1，a2, a3, a4，a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12）=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2) 二级得分向量： （a(2)(2)(2)1，a(2)2, a3, a(2)4，a(2)5, a(2)6, a7, a(2)8, a(2)9, a(2)(2)(2)10, a11, a12）=(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1) 三级得分向量： （a（3）3）（3）1,a（3）2,a（3）（3）3）3, a4，a（5, a（6, a7, a（3）（3） 8, a（3）（3）（3） 9, a10, a11, a12）= (7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,1) (3)、i从1到n循环，j从1 到n循环。 如果Ti与Tj之间没有边连接，则比较ai与aj，如果aiaj则建立（Ti，Tj），如果ai 以数值大的对队为尾建边，否则Ti与Tj两队随机决定胜负并建边，从而得邻接矩阵，根据上