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无处不在的数学 无处不在的数学 无处不在的斐波那契数列 （化学化工学院 学号091130121） 数学规律往往和生活中的某些现象有着紧密的联系。本文以大家熟知的斐波 那契数列作为一个典型的例子，通过查找资料和参考一些文献，从斐波那契数列的性质、和黄金分割数的联系以及一些在生活中存在斐波那契数列的现象为出发点，对斐波那契数列进行了简单的介绍。通过这一过程，对斐波那契数列有了更深的了解和认识。从斐波那契数列这一典型的例子认识到生活中的数学无处不在，认识到大自然的伟大和数学的神奇，进而培养一种在生活中发现和探索的积极心态。 斐波那契数列； 黄金分割； 生物； 斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由意大利数学家列昂那多·斐波那契发明的。指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、??在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n ≥2，n ∈N*），在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。斐波那契数列从被发明到现在许许多多的科学家都曾对其进行研究分析过，并取得了一些重要的成果。通过参考资料，了解到斐波那契数列有许多有趣的性质，和黄金分割有着紧密有趣的联系，在现实生活中同样能够发现许许多多和斐波那契数列紧密联系的现象。 1. 斐波那契数列通项式的简单推导 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、?? 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为 n n 5??1+5??1-5???- ??? a n = ? 5??2??2????? 又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。 为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等 数学知识也能求出。 斐波那契数列的初等代数解法如下[1]： 已知a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n ? 1 + a n ? 2 首先构建等比数列 设a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2) a n = (β ? α)a n ? 1 + αβa n ? 2 比较系数可得: 不妨设β 0,α 0 所以有a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2) ， 即为等比数列。 求出数列{a n + αa n ? 1} 变形得： 。 令 变形得： 。 令 求数列{b n }进而得到{a n ，解得。 为等比数列 得出 a n 表达式 通过以上简单的初等代数的推导，我们很快得出了斐波那契数列的通项式。这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的，是一个非常有趣的现象。 当然斐波那契数列还有许许多多的其他的更为简单的便捷的推导方法，只是 由于上述的初等代数法相比于其他方法在我们目前接触的数学知识范围之内是 比较简单易懂的，故加以详细叙述。 2. 斐波那契数列与黄金分割的联系 从斐波那契数列的通项公式我们可以看出，斐波那契数列与黄金分割存在着 密切的联系。随着项数n 的不断增大，斐波那契数列相邻两项的比值越来越接近于黄金比[2]： 1235813=0. 5=0. 66=0. 6=0. 625=0. 615=0. 6192 3 5 8 13 21 -f n+1u n ==n n f n -???? 时，由于?，所以 n n+1n+1 ?lim u n =lim ? n n →∞n →∞?? n+1 斐波那契数亦可以用连分数来表示： 而黄金分割数亦可以用无限连分数表示： 当然这只是斐波那契数列和黄金分割的总多联系中的一个小小的方面。上述的联系，老师在上课的时候重点提到过。黄金分割是生活中接触到的，也是我们 学习数学时最先接触到的数学美学问题。斐波那契数列与黄金分割的紧密联系间接的说明了其与生活的联系紧密。我们不得不感慨数学的相关性和自然的奇妙和伟大。 3. 斐波那契数列的一些性质[3] 斐波那契数列的项之间有一些非常有趣的关系，如： （1）f n f n-2=f2n-1—(-1)n (n2) （2）f n f n+1—f n-1f n-2=f2n-1(n2) n-1+f2n =f2n-1(n1) （4）数列中任意相邻的四个数A ，B ，C ，D ，有C 2一B 2=A×D