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勾股定理综合难题 勾股定理综合难题period; 一、用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 二、勾股定理的应用 1．如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少? 2． 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 3．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？ 4．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长。 5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长． 6.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。 7.如图，在矩形ABCD中，AB?6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C?2，求折痕EF的长。 处，若AE：BE?1： 8．如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB∶CE＝_________． 9.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45o，把△ADC沿AD对折，点C落在C′的位置，若BC＝2，则BC′＝_________． 10．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由． ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由． 11.如图所示，在Rt?ABC中,?BAC?90?,AC?AB,?DAE?45?,且BD?3,CE?4,求DE的长. 12.如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC 上任意一点， 请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值。 24、※如图在Rt△ABC中,?C?90?,AC?4,BC?3，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形） 解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。 25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为 元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。 26．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的 交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 第26题图 27．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。 28、如图，已知：?C?90?，AM?CM，MP?AB于P．求证： BP?AP?BC． 29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一