行列式的性质(20210703102814).pdf

行列式的性质 基本性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质 2 互换行列式的两行 (列 ) ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行 (列 )完全相同，则此行列式为零。 性质 3 行列式的某一行 (列 ) 中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质 4 行列式中如果有两行 (列 )元素成比例，则此行列式等于零。 性质 5 若行列式的某一行 (列 ) 的元素都是两数之和，例如第 j 列的元素都是两数之和 性质 6 把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去， 行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性 质，为行列式的计算做准备 . 设 a a a a a a 11 12 1n 11 21 n1 a a a a a a 21 22 2n T 12 22 n 2 D ， D a a a a a a n1 n2 nn 1n 2 n nn T T 称行列式 D 为 D 的转置行列式． D 可以看成是 D 的元素沿着主对角线旋转 180 所得， 亦可看成是将 D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换） ． 性质 1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 a a a a a a 11 12 1n 11 21 n1 a a a a a a 21 22 2n 12 22 n 2 . a a a a a a n1 n2 nn 1n 2n nn T 证明 将等式两端的行列式分别记作 D 和 D ，对行列式的阶数用数学归纳法 . T 当 n 2 时，可以直接计算出 D D 成立，假设结论对小于 n 阶的行列式都成立，下 面考虑 n 阶的情况 . 根据定义 D a A a A a A ， 1