高中物理解题中递推公式.pdf

物理解题中的递推公式 商洛中学 杨玉良 分析一些同类特殊事例， 确切判断出它们所共有的因果联系和特征， 作出一般结论。 这 种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。 物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推 理得出的。 归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况， 即当问题中涉及相互联系的 物体较多并且有规律时， 应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类， 然后求出通式。 常用它来研究运动规律已知， 在一定条件下连续进行的、 具有共同规律而具体数量特征不同 的多阶段运动问题。 它具体方法是先分析某一次作用的情况， 得出结论； 再根据多次作用的 重复性和它们的共同点， 把结论推广， 然后结合数学知识求解； 或导出联系相邻两次作用的 递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。 1、如图所示，质量为 m 的由绝缘材料制成的球与质量为 M=19m 的金属球并排悬挂。 现将绝缘球拉至与竖直方向成θ =60 °的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹 性碰撞。 在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。 已知由于磁场的阻尼作用， 金属球将于再 次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45 °。 【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后， 其速率将减小， 从而使其偏离竖直方向的最大 角度在减小。 而每次两球碰撞后， 绝缘球的速率是有规律性的变化， 要求解本题题设条件下 的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。 【解】方法 1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知 识求解。设小球 m 的摆线长度为 l ，绝缘球第一次碰撞前的速度为 v0，碰撞后绝缘球与金属 球的速度分别为 v1 1 、V ，设速度向左为正，小球 m 在下落过程中与 M 相碰之前满足机械能 守恒： ， ① 1 / 14 m 和 M 碰撞过程满足： mv0=MV 1+mv 1 ， ② ， ③ 联立②、③得： ， 由于 v 10，说明绝缘球被反弹， 而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球 M 发生碰撞， 设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为 v2、V2 ，满足： m|v1 |=MV 2 +mv 2 ，④ ， ⑤ 由④、⑤解得： ， 整理得： 同理第三次碰撞后绝缘球的速率 v3 为： ， 由以上归纳推理得到第 n 次碰撞后绝缘球的速率为 vn， 所以： ，⑥ 经过第 n 次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45 °，则 ，⑦ 联立①、⑥、⑦代入数据解得， （0 ．81 ）n=0 ．586 ， 当 n= 3 时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45°。