高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题.pdf

话题 4 ：曲率半径问题 一、曲率半径的引入 在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。 因为在 t 0 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”， 对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。 对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来 代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映 加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一 般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整 条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在 处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代 曲”。可以通过曲线上一点 A 与无限接近的另外两个相邻点作一 A 圆，在极限情况下，这个圆就是 A 点的曲率圆。 二、曲线上某点曲率半径的定义 2 v 在向心加速度公式 an 中 为曲线上该点的曲率半径。 圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特 性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对 意义的模糊，从而给其它 运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。 曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率 k 是用来描述曲线弯 1 曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径 越小，且 。这就是说，曲 k 线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。 二、曲线上某点曲率半径的确定方法 2 v 1、 从向心加速度 an 的定义式 an 出发。 2 v 将加速度沿着切向和法向进行分解， 找到切向速度 v 和法向加速度 an ，再利用 an 求出该点的曲率半径 。 1 例 1、将 1kg 的小球从 A 点以 10m/ s 的初速度水平抛出， A v0 设重力加速度 g 10m / s2 ，求： B (1) 在抛出点的曲率半径； an at