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高中物理竞赛中的高等数学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联 系．这样，微积分这个数学工具就成为必要的了．考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初 步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的．所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本 的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要．至于 更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成． §1．函数及其图形 1．1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量 x 和 y，如果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一定 的规律就可以确定 y 的对应值，那么称 y 是 x 的函数，并记作：y=f (x)，（A．1）；其中x 叫做自变量，y 叫做因变量， f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数值的对应关系．有时把 y=f(x)也记作 y=y(x) ．如果在同一个问题中遇到几个不同形 式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如 (x)、 ψ(x)等等．① 1 2 c x 常见的函数可以用公式来表达，例如 y f (x) 3 2x ，ax bx ， ， cos2 x ， ln x ， e 等等． 2 x 1 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的 3、 2 、 、 、e 和 a、b、c 等，它们叫 2 1 做常量；常量有两类：一类如 3、 2 、 、 、e 等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对 2 a b c 常量；另一类如 、 、 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量．在数学中经常用拉丁 a b c x y z 字母中最前面几个（如 、 、 ）代表任意常量，最后面几个（ 、 、 ）代表变量． 当 y=f(x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值 x0 0 相对应的函数值 f (x )．例如： 1 y=f(x)=3+2x x=-2 y=f(-2)=3+2 (-2)=-1× x=x （ ）若 ，则当 时 ．一般地说，当 0 0 0 时，y=f(x )=3+2x ． c c （2 ）若 ( ) x x 时， f (x ) ． y f x ，则当 0 0 x x0 1．2 函数的图形 在解析几何学和物理学中