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离散余弦变换 编辑本段基本介绍 最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为 反离散余弦变换 ， 逆离散余弦变换 或者 IDCT 。 有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform), 它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform), 它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。 编辑本段主要应用 离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像) 进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的 能量集中 特性:大多数的自然信号(包括声音和图像) 的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L 变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性) 的性能。 例如，在静止图像编码标准JPEG 中，在运动图像编码标准MJPEG 和MPEG 的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n 通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。 一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。 离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来接偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。 编辑本段计算方式 尽管直接使用公式进行变换需要进行O(n2)次操作，但是和快速傅里叶变换类似，我们有复杂度为O(nlog(n))的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种分解算法。另外一种方法是通过快速傅里叶变换来计算DCT ，这时候需要O(n)的预操作和后操作。 编辑本段参考资料 K. R. Rao and P. Yip, 离散余弦变换 : 算法、优点和应用 (Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications) (Academic Press, Boston, 1990). A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, 时间离散信号处理 (Discrete-Time Signal Processing), second edition (Prentice-Hall, New Jersey, 1999). S. A. Martucci, 对称卷积和离散正弦余弦变换 (Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms), IEEE Trans. Sig. ProcessingSP-42, 1038-1051 (1994). M. Frigo and S. G. Johnson, FFTW3的设计和实现, Proceedings of the IEEE93 (2), 216–231 (2021). 编辑本段改进的离散余弦变换 改进的离散余弦变换（Modified Discrete Cosine Transform, MDCT）是一种与傅立叶变换相关的变换，以第四型离散余弦变换（DCT-IV ）为基础，重叠性质如下：它是应用于处理较大的资料集合，当连续的资料区块中，当前的资料区块跟后续的资料区块有重叠到的情形；即当前资料区块的后半段与下一个资料区块的前半段为重叠的状态。这样的重叠情形，除了具有离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）的能量压缩特性外，也使这种变换在应用于信号压缩时更引人注目。因为它有助于避免由于资料区块边界所产生的多余资料。因此，这种变换可应用于MP3，AC-3， ogg vorbis，和AAC 的音频压缩等方面。 改进的离散余弦变换是由Princen ，Johnson 和Bradley 承接早前（1986年）Princen 和B