2019年全国中考数学真题分类汇编(47几何最值).pdfVIP

一、选择题 1．（2019 ·长沙）如图，△ ABC中，AB=AC=10，tanA=2 ，BE⊥AC于点 E，D 是线段 BE上的一个动点，则 CD+ 5 BD 5 的最小值是 【 】 A． 2 5 B． 4 5 C． 5 3 D．10 【答案】 B 二、填空题 2. （2019 ·黄冈） 如图， AC ，BD在AB 的同侧， AC ＝2 ，BD ＝8 ，AB ＝8.点 M为AB 的中点 .若∠ CMD ＝120 °，则 CD 的最大值是 . 【答案】 14 【解析】将 △CAM 沿 CM 翻折到 △ CA′M ，将 △ DBM 沿 DM 翻折至 △ DB′M ，则 A′M ＝B′M ，∠AMC ＝∠A′MC， ∠DMB ＝∠ DMB′ ，∵∠ CMD ＝120°，∴∠ AMC+ ∠DMB ＝∠A′MC+∠DMB′ ＝60°， ∴∠A′MB′＝ 180°- （∠AMC+ ∠DMB+ ∠A′MC+∠DMB′ ）＝ 60°， ∴△A′MB′是等边三角形， 又∵ AC ＝2 ，BD ＝8 ，AB ＝8.点 M 为 AB 的中点， 1 ∴A′B＝′A′M ＝B′M ＝AM ＝ AB ＝4，CA′＝AC ＝2，DB′＝DB ＝8， 2 又 CD≤CA′+A′B′+DB＝′2+4+8 ＝14. 三、解答题 3 ．（2019 山东威海， 24 ， 12 分） 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝10cm，E 为对角线 BD 上一动点，连接 AE ， CE ，过 E 点作 EF ⊥AE ，交直线 BC 于点 F．E 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速度运动，当点 E 与 2 点 D 重合时，运动停止，设△ BEF 的面积为 ycm ，E 点的运动时间为 x 秒． （1）求证： CE ＝EF ； （2 ）求 y 与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3 ）求△ BEF 面积的最大值． 【解题过程】 （1）证明：过 E 作 MN ∥AB ，交 AD 于 M ，交 BC 于 N ， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AD ∥BC，AB ⊥AD ， ∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC， ∴∠AME ＝∠ FNE ＝90°＝∠ NFE ＋∠ FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠ AEF ＝∠AEM ＋∠ FEN ＝90°， ∴∠AEM ＝∠ NFE ， ∵∠ DBC ＝45°，∠ BNE ＝90°， ∴BN ＝EN＝AM . ∴△AEM ≌△ EFN （AAS ）. ∴AE ＝EF . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠ CDE ， ∵DE ＝DE ， ∴△ADE ≌△ CDE （SAS）， ∴AE ＝CE ＝EF . 2 2 （2 ）在 Rt△ BCD 中，由勾股定理得： BD ＝ 10 10 ＝10 2 ， ∴0 ≤x ≤5 2 . 由题意，得 BE ＝2x ， ∴BN ＝EN＝ 2 x. 由（ 1）知：△ AEM ≌△ EFN ， ∴ME ＝FN ， ∵AB ＝MN ＝10，∴ ME ＝FN ＝ 10－ 2 x， 5 2 如图（ 1），当 0 ≤x ≤ 时， 2 ∴BF ＝FN －BN ＝10－ 2 x