2021年八年级数学上册 知识点总结（pdf）（新版）新人教版.pdfVIP

第十一章 三角形 一 ．知识框架 二 ．知识概念 1.三角形 ：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系 ：三角形任意两边的和大于第三边 ，任意两边的差小于第三边。 3.高 ：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 ，顶点和垂足间的线段叫做 三角形的高。 4.中线 ：在三角形中 ，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线 ：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 ，这个角的顶点和交 点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性 ：三角形的形状是固定的 ，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 7.多边形 ：在平面内 ，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8.多边形的内角 ：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于 ： （n －2 ）×180° ，则正多边形各内 角度数为 ： （n －2 ）×180°÷n 多边形内角和定理证明 证法一：在n边形内任取一点O，连结O 与各个顶点，把n边形分成n个三 角形. 因为这n个三角形的内角的和等于n ·180°，以O为公共顶点的n个角的 和是360° 所以n边形的内角和是n ·180°-2×180° （n-2）·180°. 即n边形的内角和等于 （n-2）×180°. 证法二：连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成 （n-2）个三角形. 因为这 （n-2）个三角形的内角和都等于 （n-2）·180° 所以n边形的内角和是 （n-2）×180°. 证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P 点与其它各顶点的线段 可以把n边形分成 （n-1）个三角形， 这 （n-1）个三角形的内角和等于 （n-1）·180° 以P为公共顶点的 （n-1）个角的和是 180° 所以n边形的内角和是 （n-1）·180°-180° （n-2）·180°. 已知正多边形内角度数则其边数为 ：360÷ （180 －内角度数 ） 9.多边形的外角 ：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 外角和=N*180- （N-2 ）*180=360度。 注 ：在不考虑角度方向的情况下 ，以上所述的 N边形 ，仅为任意 ‘凸’多边形。 当考虑角度方向的时候 ，上面的论述也适合凹多边形。 10.多边形的对角线 ：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 ，叫做多边形的对角线。 11.正多边形 ：在平面内 ，各个角都相等 ，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 12.平面镶嵌 ：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 ，叫做用多边 形覆盖平面。 镶嵌的一个关键点是 ：在每个公共顶点处 ，各角的和是 360° ． 1 ．全等的任意三角形能镶嵌平面 把一些纸整齐地叠放好 ，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形 ．用这些 全等的三角形可镶嵌平面 ．这是因为三角形的内角和是 180° ，用 6个全等的三 角形即可镶嵌出一个平面 ．如图 1 ．用全等的三角形镶嵌平面 ，镶嵌的方法不 止一种 ，如图 2 ． 2 ．全等的任意四边形能镶嵌平面。 仿上面的方法可剪出多个全等的四边形 ，用它们可镶嵌平面 ．这是因为四 边形的内角和是 360° ，用 4 个全等的四边形即可镶嵌出一个平面 ．如图 3 ．其 实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌 ．如图 4 ． 3 ．全等的特殊五边形可镶嵌平面 圣地亚歌一位家庭妇女 ，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯 ，对平面镶嵌有很深 的研究 ，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论 ．1968 年克什纳断言 只有 8 类五边形能镶嵌平面 ，可是玛乔里·赖斯后来又找到了 5类五边形能镶嵌 平面 ，在图 5 的五边形 ABCDE 中 ，∠B=∠E=90° ，2∠A ＋∠D=2∠C＋∠D=360° ， a=e ，a＋e=d ．图 6是她于 1977年 12 月找到的一种用此五边形镶嵌的方法 ．用 五边形镶嵌平面 ，是否只有 13 类 ，还有待研究 ． 4 ．全等的特殊六边形可镶嵌平面 1918 年 ，莱因哈特证明了只有 3 类六边形能镶嵌平面 ．图 7 是其中之一 ．在 图 7 的六边形 ABCDEF 中 ，∠A ＋∠B＋∠C=360° ，a=d ． 5 ．七边形或多于七边的凸多边形 ，不能镶嵌平面 ．