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立体几何专题复习
热点一：直线与平面所成的角
例 1 ．（2014 ，广二模理 18） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
EF ∥平面 ABCD ， EF 1， FB FC , BFC 90 ， AE 3 .
（1）求证： AB 平面 BCF ；
E F
（2 ）求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值 .
D C
A B
变式 1：（2013 湖北 8 校联考）如左图，四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， DB 2, DC 1,BC 5,
AB AD 2. 将左图沿直线 BD 折起，使得二面角 A BD C 为 60 , 如右图 .
（1）求证： AE 平面 BDC ;
（2 ）求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值 .
变式 2 ：[2014 ·福建卷 ] 在平面四边形 ABCD 中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD 沿 BD
折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，如图 1-5 所示．
(1)求证： AB⊥CD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角
ABCD PD ABCD DPC AF PC
例 2 ．[2014 广东卷· ] 如图 1- 4，四边形 为正方形， ⊥平面 ， ∠ ＝30 °， ⊥ 于
点 F，FE∥CD，交 PD 于点 E.
(1)证明： CF⊥平面 ADF； (2)求二面角 D - AF - E 的余弦值．
变式 3 ： [2014 ·浙江卷 ] 如图 1-5，在四棱锥 A - BCDE中，平面 ABC⊥平面 BCDE， ∠CDE＝ ∠ BED＝
90 °，AB＝CD＝2 ，DE＝BE＝1 ，AC＝ 2.
(1)证明： DE⊥平面 ACD；(2)求二面角 B - AD - E 的大小．
1 1 1 1
变式 4 ：[2014 ·全国 19] 如图 1-1 所示，三棱柱 ABC - A B C 中，点 A 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC
1
上，∠ ACB＝90 °，BC＝1，AC＝CC ＝2.
1 1 1 1 1 1
(1)证明： AC ⊥A B; (2)设直线 AA 与平面 BCCB 的距离为 3 ，求二面角 A - AB - C 的大小．
热点三：无棱二面角
例 3 ．如图三角形 BCD 与三角形 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD ⊥平面 BCD，AB ⊥平面
BCD， AB 2 3 .
（1）求点 A 到平面 MBC 的距离；
（2 ）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的
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