立体几何共线.共点.共面问题.pdf

立体几何中的共点、共线、共面问题 一、共线问题 例 1. 若ΔABC 所在的平面和Δ A B C 所在平面相交，并且直线 AA 、BB 、CC 相 1 1 1 1 1 1 交于一点 O ，求证： (1)AB 和 A 1 B 1 、BC 和 B 1 C 1 、AC 和 A 1 C 1 分别在同一平面内； (2) 如果 AB 和 A 1 B 1 、BC 和 B 1C 1 、AC 和 A 1 C 1 分别相交， 那么交点在同一直线上 (如 图). 例 2. 点 P、Q 、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上，且 PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y. 求证： X 、Y 、Z 三点共线 . 例 3. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面 α交于P、Q 、R 三点，求证：P、Q、R 三点共线。 二、共面问题 例 4. 直线 m 、n 分别和平行直线 a 、b 、c 都相交，交点为 A 、B 、C 、D 、E 、F ， 如图，求证：直线 a 、b 、c 、m 、 n 共面 . 例 5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内 . 已知：如图，直线 l 1 ，l2 ，l3 ，l4 两两相交，且不共点 . 求证：直线 l1 ，l 2 ，l3 ，l 4 在同一平面内 例 6. 已知： A 1 、B 1 、C 1 和 A 2 、B2 、C 2 分别是两条异面直线 l 1 和 l 2 上的任意三点， 1 2 1 2 1 2 1 2 M 、N 、R、T 分别是 A A 、B A 、B B 、C C 的中点 .求证： M 、N 、R 、T 四点共 面 . AM CN 例 7. 在空间四边形 ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点， 且满足 ＝ MB NB AQ CP ＝ ＝ ＝k. QD PD (1) 求证： M 、 N、 P、Q 共面 . (2) 当对角线 AC ＝a,BD ＝b ，且 MNPQ 是正方形时， 求 AC 、BD 所成的角及 k 的值 (用 a,b 表示 ) 三、共点问题 例 8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行 . 1 、(1 )证明 ：∵ AA 1 ∩BB 1 ＝O, ∴AA 1 、BB 1 确定平面 BAO ， ∵A 、A 1 、B 、B 1 都在平面 ABO 内， ∴AB 平面 ABO ；A 1 B 1 平面 ABO. 同理可证， BC 和 B1 C 1 、AC 和 A 1C 1 分别在同一平面内 . (2) 分析： 欲证两直线的交点在一条直线上， 可根据公理 2 ，证明这两条直线分别在两 个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上 . 2 证明 ：如图，设 AB ∩A 1 B 1 ＝P ； AC ∩A 1 C1 ＝R ； ∴ 面 ABC ∩面 A 1 B 1 C 1 ＝PR. 1 1 1 1 1 ∵ BC 面 ABC ；B C 面 A B C ， 且 BC ∩B1 C 1 ＝Q ∴ Q ∈PR, 即 P 、R、