专题03“三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版.docx

文档来源为 : 文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 . 一．方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现 .常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识 相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青 睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法． “三法 ”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧 . 二．解题策略 类型一 投影定义法 【例 1 】【20 18 届河南省中原名校高三上第一次考评】已知 P 是边长为 2 的正 △ABC 边 BC 上的动点， 则 ·（ ＋ ）＝ ． 【答案】 6 【解析】设 BC 的中点为 D，则 AD ⊥BC ， 【指点迷津】 1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义） ： 向量 a,b 数量积公式为 a b a b cos ，可变形为 a b a b cos 或 a b b a cos ，进而与 向量投影找到联系 数量积的投影定义：向量 a, b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影， 即 a b b a b （记 a b 为 a 在 b 上的投影） 投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影） ，例如： 直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科 网 从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考 虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆 M 为直角三角形 ABC 的外接圆， OB 是斜边 AC 上的高， 且 AC 6, OB 2 2 ， AO OC ， 点 P 为线段 OA 的中点，若 DE 是 M 中绕圆心 M 运动的一条直径，则 PD PE 【答 案】 -5 【解析】思路：本题的难点在于 DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解 .考虑到 DE 为直径，所以延长 EP 交圆 M 于Q ，即可得 DQ QE ，则 PD 在 PE 上的投影向量为 PQ .所求 PD PE PE PQ ，而由 PE PQ 联想到相交弦定理，从而 PE PQ AP PC .考虑与已知条 件联系求出直径 AC 上的各段线段长度 .由射影定理可得：  AO CO OB  2 8 ，且 AO CO AC 6，所以解得 AO 2, OC 4 ，再由 P 为 OA的中点可得 AP 1, PC 5 ，所以 PE PQ AP PC 5 ，进而 PD PE PE PQ 5 答案： 5 .学* 科网 类型二 基底法 【例 2】【2018 届浙江省金华十校 4 月模拟】已知平面内任意不共线三点 ， ，，则的值为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 以上说法都有可能 【答案】 B 【指点迷津】 遇到几何图形中计算某两个向量 a, b 数量积的问题， 如果无法寻找到计算数量积的要素 （ a,b 模长，夹角）， 那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将 a, b 两个向量表示出来，进而进行运算 .这也是在几何图形中 处理向量数量积的一个重要方法 . 如何选择 “合适 ”的基底： 题目中是否有两个向量模长已知， 数量积可求呢？如果有， 那就是它们了 .所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知 .常见的可以边所成向量作基 底的图形有：等边三角 形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等 . 【举一反三】 如图，在 ABC 中， BAC 120 , AB 2, AC 1, D 是边 BC 上一点， DC 2BD ，则 AD BC 【答案】 8 3 答案： AD BC 8 3 类型三 坐标法 【例 3】【2018 届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二） 】如图，扇形 的圆心角为 90°，半径为 1，点 是圆弧 上的动点，作点 关于弦 的对称点 ，则 的取值范围为 ． 【答案】 . 【解析】分析 :先建立直角坐标系，再设出点 P,Q的坐标，利用已知条件求出 P,Q 的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围 . 【指点迷津】 常见的可考虑建系的图形： （ 1）具