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2019 年新课标全国卷( 1、2、3 卷)理科数学备考宝典
9.三角函数与解三角形
一、 2018 年考试大纲
二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评
2011 —2018 年新课标全国( 1 卷、 2 卷、 3 卷)理科数学分类汇编—— 9.三角函数与解三角形一、考试大纲
任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念 .
(2)了解弧度制的概念 ,能进行弧度与角度的互化 .
三角函数
理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 .
能利用单位圆中的三角函数线推导出 , 的正弦、余弦、正切的诱导公式,
2
能画出 y = sin x ,y= cosx,y= tanx 的图像 ,了解三角函数的周期性 .
理解正弦函数、余弦函数在区间 [ 0,2 π上的] 性质 (如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等 ),
理解正切函数在区间 [
, ] 内的单调性 .
2 2
2 2
理解同角三角函数的基本关系式:
, sin x
tan x .
sin x cos x 1
cosx
了解函数 y =Asin( x+ )的物理意义;能画出 y = Asin( x+ ) 的图像 ,了解参数 A, , 对函数图像变化的影响 .
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 ,会用三角函数解决一些简单实际问题 .
正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理 ,并能解决一些简单的三角形度量问题 .
应用:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 .
二、新课标全国卷命题分析
新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定,一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三 角形,一般是 1 小 1 大,或者 3 小题,一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。解三 角形问题也是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定
理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行 “边转角 ”“角转边 ”.三、典型高考试题讲评
2题型 1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系
2
例 1 ( 2016·新课标Ⅲ,理 5)若
tan
3
4 ,则
cos
2sin 2 ( )
64
25 B.
48 16
25 C. 1 D. 25
2
2解析:
2
cos
2sin 2
cos 4sin cos 1 4tan 64 ,故选 A.
252 2 2
25
cos sin 1 tan
【解题技巧】 本题考查三角恒等变换,齐次化切 .
题型 2 三角函数的恒等变换
例 2 ( 2018·新课标Ⅲ,理 4) 若 sin
,则 cos2 ( )
3
8
9
7
9
7 9
2 2 7
8 9
解析:
cos2 1 2sin 1
. 故选 B.
9 9
例 3 ( 2015·新课标Ⅰ, 2) sin 20 cos10 cos160 sin10 ( )
3 3
A . B .
2 2
1 1
C. D .
2 2
解析: sin 20 cos10 cos160 sin10 sin 20 cos10 cos 20 sin10 sin30 ,选 D. .
题型 3 三角恒等变换与三角函数的值域例 4 (2018 ·新课标Ⅰ,理 16) 已知函数
f ( x)
sin x
sin 2 x ,则
f ( x)
的最小值是 .
【答案】 3 3
2 2
2 2
解析: 方法一 :
f ( x) 2sin x
sin 2x
2sin x
2sin
x cosx
2sin
x(1 cosx) ,
2所以 [ f ( x)]
2
4sin x (1 cos x)
4(1 cos x)(1 cos x)
4(1 cos x) (1 cos x)
2 23
2 2
3
4 (1 cosx)3 (3 3cos x) ≤ 4 (1 cosx) (1 cosx) (1 cos x) (3 3cos x) 27 ,
3 3 4 4
所以函数
f ( x) 的值域为 3 3 , 3 3
2 2
,所以
f (x) 的最小值为 3 3
2
方法二:
f (x) 2sin x
sin 2x
2sin x
2sin
xcosx
2sin
x(1 cos x) 4sin
x cos x 2cos2 x 8sin x cos3 x
2 2 2 2 2
4
2 x 2 x 2
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