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实数完备性基本定理等价性的证明 实数完备性基本定理等价性的证明 实数完备性基本定理等价性的证明 摘要 本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明. 关键词 实数完备性基本定理 等价性 循环证明 在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍. 定义 设闭区间列{[a n , b n ]}具有如下性质： （i ）[a n , b n ]?[a n +1, b n +1], n =1, 2, ; （ii ）lim (b n -a n )=0, 则称{[a n , b n ]}为闭区间套，或简称区间套. 确界原理 设 S 为非空数集. 若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界. 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 区间套定理 若{[a n , b n ]}是一使得ξ∈[a n , b n ], n =1, 2, , 即 a n ≤ξ≤b , n =1, 2, . 推论 若ξ∈[a n , b n ], n =1, 2, , 是区间套{[a n , b n ]}所确定的点，则对任给的 ε 0，存在N 0，使得当nN 时有 [a n , b n ]? (ξ; ε). 有限覆盖定理 设H 为闭区间[a , b ] 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖 [a , b ]. 聚点定理 实数轴上任一有限无界点集 S 至少有一个聚点. 柯西收敛准则 数列{a n } 收敛的充要条件是：对任给的ε0 ，存在正整数N ，使得当n,mN 时有 a n -b n 〈ε. §2 六大基本定理等价性的证明 本节就是对六大基本定理等价性的证明. 首先列出证明过程的基本框架： 确界原理 ? 单调有界定理 ? 区间套定理 柯西收敛准则 ? 聚点定理 ?有限覆盖定理 下面就是这个循环证明的过程. 1 由确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{a n }为 有上界的递增数列. 由确界原理，数列{a n }有上确界. 记 a=sup {a n }. 下面证明 a 就是{a n } 的极限 . 事实上，任给ε 〉0 ，按上确界的定义，存在数列 {a n } 中某一项a N ，使得a-ε〈 a N . 又由{a n } 的递增性，当n ≥N 时有 另一方面，由于a 是{a n } 的一个上界，故对一切a n , 都有a n ≤a 这就证得lim a n =a. 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下 2 由单调有界定理证明区间套定理 证 由区间套的定义，各闭区间的端点满足如下不等式： a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1, 即{a n } 为递增有界数列，依单调有界定理，{a n } 有极限ξ ，且有 a n ≤ξ, n =1, 2, , （1） 同理，递减有界数列{b n } 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有 lim b n =lim a n =ξ （2） 且 b n ≤ξ, n =1, 2, . （3） 联合（1）及（3）即得. a n ≤ξ≤b n , n =1, 2, . （4） 最后证明满足（4）的ξ 是唯一的 ，设数ξ 也满足, a n ≤ξ≤b n , n =1, 2, , 则由（4）式有 -ξ≤b n - a n ，n =1, 2, . 由区间套的条件（ii ）得 -ξ≤lim (b n -a n )=0, 故有 ξ= ξ. 3 由区间套定理证明有限覆盖定理 证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖 [a , b ] . 将[a , b ] 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 1, b 1] ，则[a 1, b 1]?[a , b ] ，且b 1-a 1= (b -a ) . 再将[a 1, b 1] 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 2, b 2] ，则[a 2, b 2]? [a 1, b 1] ，且 b 2-a 2= (b -a ) . 重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]} ，它满足 [a n , b n ]?[a n +1, b n +1], n =1, 2, ,