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第二章 应力分析 第二章lowbar;应力分析 第二章 应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。 第1节 内力和外力 1.1 外力： 物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。 1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。 求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法： 第2节 应力和应力张量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法： 过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力） n 1=n x =l 、n 2=n y =m 、n 3=n z =n 。即 t (n ) =t (i ) n i =t (1) n 1+t (2) n 2+t (3) n 3=t (x ) l +t (y ) m +t (z ) n ?A B C =?S , ?P B C =n 1?S , ?PAC =n 2?S , ?PAB =n 3?S , t (n ) ?S +t (-i ) ?S i +f ?V =0 ?S i =n i ?S 代入上式，并忽略高阶微量 而 t (-i ) =-t (i ) , t (n ) ?S -t (i ) n i ?S =0 或 展开为 或 t (n ) =n i t (i ) t (n ) =t (1) n 1+t (2) n 2+t (3) n 3 t (n ) =t (x ) l +t (y ) m +t (z ) n 2.1 应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1 t (1) =t (x ) =σ11e 1+σ12e 2+σ13e 3=σxx e x +σxy e y +σxz e z =σ1j e j =σxj e j t (2) =t (y ) =σ21e 1+σ22e 2+σ23e 3=σyx e x +σyy e y +σyz e z =σ2j e j =σyj e j t ( 3) =t (z ) =σ31e 1+σ32e 2+σ33e 3=σzx e x +σzy e y +σzz e z =σ3j e j =σzj e j p ２=σ２l ２=l ２?　　　　（3. 25） p ３=σ３l ３=l ３? 将法线方向n 取为单位长度，则 22l 12+l 2+l 3=1　　　　　　　　　（3. 26） 将式（3.25）代入式（3.26），得 ）＝１　　（3. 2７） 3.3.2. 讨论： （1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一 椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。此椭球面上任一点都存在着三个坐标p 1，p 2，p 3，分别为过o 点的某一平面上应力的三个分量。 （2）：当σ1=σ2=σ3时，式（3.27）变为： （p 1）＋（p ２）+（p ３）＝σ2　　（3. 28） 上式为一球面方程。在主坐标系中，三个主应力均等于σ的应力张量为σδ， 00??σδ11 0σδ0 σδ=?11?? ?0σδ11??0? ?1　i =j ? 式中，δ=δij =??——应力球张量 0　i ≠j ??（3）应力偏张量