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向量范数的等价性定理
向量范数的等价性定理
向量范数的等价性定理
设 ||x||s ,||x||t 为R n 上向量,的任意两种范数,则存在常数 c 1,c 2 0,使得对一切x ∈R n ,有c 1||x||s ≤ ||x||t ≤ c2||x||s
证明:只需证明不等式在||x||s = ||x||∞时成立,即证明存在常数c 1,c 2 0,使得 c 1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2,对一切x ∈R n 且x≠0
考虑泛函f(x) = ||x||t ,x ∈R n
记S={x | ||x||∞ = 1,x ∈R n },则S 是一个有界闭集
由于f(x)为S 上的连续函数,f(x)在S 上可以取到最小值和最大值,设最小值点和最大值点分别为x 1,x 2
使c 1 = f(x1) , c 2 = f(x2)
设x ∈R n 且x≠0, 则x / ||x||∞ ∈ S ,从而有
c 1 ≤ f(x / ||x||∞) ≤ c2
显然c 1,c 2 0,上式为
c 1 ≤ ||x / ||x||∞||t ≤ c2,即
c 1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2
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