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27中考数学压轴题 二次函数动点问题 二 27中考数学压轴题 二次函数动点问题lpar;二rpar; 2021中考数学压轴题 二次函数动点问题（二） x 在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为4 (0，1) ，直线l 过B (0，-1) 且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C ，Q ，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ． 1. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数y =（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形； ②平行四边形APQR 为菱形； （3）除P 点外，直线PH 与抛物线y =说明理由． （08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知AO =CQ =1． x 有无其它公共点？并4 ∠AOH =∠QCH =90，∠AHO =∠QHC ， ∴△AOH ≌△QCH ． ∴OH =CH ，即H 为AQ 的中点． 法二：又BQ ∥x 轴，∴HA =HQ ． （2）①由（1）可知AH =QH ，∠AHR =∠QHP ， AR ∥PQ ，∴∠RAH =∠PQH ， ∴△RAH ≌△PQH ．∴AR =PQ ， 又AR ∥PQ ，∴四边形APQR 为平行四边形． ②设P m m ?， PQ ∥y 轴，则Q (m ，-1) ，则PQ =1+m 2． 过P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △APG 中， 1AP ====m 2+1=PQ ． 4∴平行四边形APQR 为菱形． （3）设直线PR 为y =kx +b ，由OH =CH ，得H ?m ??1?，2?，P m m 2?代入得： k +b =0，k =，???2?2 11?km +b =m 2. ?b =-m 2. ∴直线PR 为y = x -m 2． 24 设直线PR 与抛物线的公共点为 x x 2?，代入直线PR 关系式得： 12m 11?1?x -x +m 2=0，(x -m ) 2=0，解得x =m ．得公共点为 m m 2?． 4244?4? 所以直线PH 与抛物线y = x 只有一个公共点P ． 4 2. 如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A , 它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m ) ，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点； （3）若P (x ，y ) 是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P , 使得PB =PE , 若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. （1）∵ 点B (-2,m ) 在直线y =-2x -1上， ∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3) ∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ a =∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为y =即y = x (x -4) ， 4 x -x . 4 （2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E(2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4. ∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点. 设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . ?b =-11 将D (0,-1) C(2,0)代入，得?. 解得 k =, b =-1. 2?2k +b =0 ∴ 直线CD 对应的函数关系式为y = x -1. 2 ∵ 动点P 的坐标为(x ，x 2-x ) ，∴ x -1=x 2-x . 解得 x 1=3+，x 2=3-5. ∴ y 1= ，y 1=. 22 ∴ 符合条件的点P 的坐标为(3+， 1+1-) 或(3-，). 22 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） x +b x +c 经过A （0，－4）、B （x