2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.docVIP

2.3.1 平面向量基本定理 （一）学习目标 11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 14.了解平面向量的基本定理及其意义. 22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力. 23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神. （二）重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2.难点是平面向量的基本定理及其意义. （三）教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗? 让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法 从一维向二维,从已知到未知，引入新课题 新课探究 借助已经学过的平面直角坐标系. (1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2 (2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2） (3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2。 例如 课本103页练习A第一题 证明 课本96页，97页 (4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e1，e2｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然 0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1) (5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。 (6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即： 如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么 a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1) a∥b的充要条件是x1y2=x2y1(需要证明) (7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式. 例如 课本96页图2－34，证明同(3)。 师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法 这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了 向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。 一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。 感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性. 深化理解 例11.课本100页例1。 在直角坐标系xOy中， 向量a，b，c的方向 和长度如图所示。 分别求它们的坐标。 所有例题， 以教师为主导， 关注优秀生 是否能 从想得通 到写得通 再到讲得通 适当的给他们机会锻炼展示； 关注一般同学 是否能 从想不通 到想得通 再到写得通 给他们充分时间来思考学习 教师协调 全班讨论 复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备 例12. 课本102页例5，含101页例2、4 已知 ?ABCD的三个顶点 A(－2,1),B(0,3),C(3,4)， 求(1)向量BA的坐标、方向和长度； (2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。 总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量起点的坐标。即 AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2) 可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解 例13．课本102页例6，含101页例3 已知A(－2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。 注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。 注：例题到此，应进行学生独立练