2．4 平面向量的数量积 教案6.docVIP

§2.4平面向量的数量积 2．4．1平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目标： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学流程：概念引入→概念获得→简单运用→算律探究→理解掌握→反思提高 教学过程： 一、复习引入 问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？ 结合向量的学习你有什么想法？ 力做的功：W = ||?||cos?，?是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析） 二、新课讲解 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）. 并规定：0与任何向量的数量积为0. 问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量） ?注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. （ “投影”的概念）：作图 2．定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|. BA B A C 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 例题1： 探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正， 何时为0 ,何时为负？ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当θ =90°时a·b为零。 90°＜θ ≤180°时a·b为负 探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？ 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量. （1）a?b ? a?b = 0 （2）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 （3） |a?b| ≤ |a||b| 公式变形：cos? = 探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明） 向量a，b，c 和实数λ，有 （1） a? b= b? a （2）（λa）? b= λ（a? b ）= a? （λb） （3）（a +b）? c = a· c+ b? c （进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2）） 例2 已知|a|=6， |b|=4，a?·b =12， 求（1）ａ与ｂ的夹角；（2）|a+b|；（3） (a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4（适时补充） 判断正误： ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，