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北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习 数学 （理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若，，是虚数单位，且，则的值为 （A） （B） （C） （D） （2）若集合，，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若实数，满足不等式组则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （4）右图给出的是计算的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） （5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 （A）16 （B）18 （C）24 （D）32 （6）已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为 C （A） （B） （C） （D） （7）在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的 中点，则的值为 （A） （B） （C） （D） （8）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）命题“”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ； 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组． （12）如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于点，若，，则= ． （13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且 与准线相切的圆共有 个． （14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值. （16）（本小题共13分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立. （Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列； （Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率. （17）（本小题共13分） 如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2） （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 图1 图2 (18)（本小题共14分） 已知函数在处的切线斜率为零． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求证：在定义域内恒成立； 新课标第一网 (Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围. （19）（本小题共13分） 已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点． （20）（本小题共14分） 若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设． （Ⅰ）求,的值； （Ⅱ）求，，的值；（Ⅲ）求数列的通项公式． 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （