1．1 正弦定理和余弦定理 教案4.docVIP

正弦定理與餘弦定理 重點整理：面積公式 若之三邊長為，為其內切圓半徑，，則其面積===(已知兩邊及其夾角時)=(Heron公式)(已知三角形三邊)=。(可用於已知三角形三邊求內切圓半徑) 重要例題： 設中，，求其面積。 在中，，為的分角線且交於點，試證：。若，，則 。 類1. 中，若，則其面積為 。 類2. △中，，面積為4，則 。 類3. 單位圓之內接正三角形面積為 。 類4. 若為四邊形之對角線與的一個交角，試證：四邊形面積=。 類5. 凸四邊形中，，，，，，則四邊形的面積= 。 Ans: 1. ，2. ，3. ，4. 略，5. 。 重點整理：正餘弦定理 正弦定理：△中，，為其外接圓半徑，則。 △面積=。  餘弦定理：△中，，則或寫成。同理可寫出 ； 。 鈍角三角形的判別：三角形中，為鈍角若且唯若。 海龍公式：設的三邊長為，，則其面積為。 投影定理：△中，，則， ， 。 重要例題： 中，，試解。 設三角形兩邊長為10，6，夾角為，則第三邊長為　　　　，三角形面積為 。 在中，已知,，解此三角形。 已知二邊與一角，則之面積＝　　　　　。 類1. 已知，，，試解。 類2. 中，已知，其最短邊為2公尺，試求(1)其他二邊的長為 ，(2)面積為 。 類3. 已知三邊長為，求三內角。 Ans: 1. ，2. (1),(2)，3. 。 △三邊長為，且，，則(1)= ； (2) ；(3) 最大角為 ；(4) ；(5)若△周長為15，則其面積為 ；(6)△之外接圓面積為 ；(7)△內切圓面積為 。 類1. △中，，，，則△之外接圓半徑為 。 類2. 中，且AB＝１，則　(A) (B) (C) (D) (E) 類3. △中，，，三邊之和為，則最長邊為 。 類4. 在△中，已知，，且與為的兩根，則△的外接圓半徑等於 (A) (B) (C) (D) (E)。(84.社) 類5. 半徑10的圓周上有三點，若，則△面積= 。 類6. △中，已知，則△為 △。(銳角、直角或鈍角) 類7. 設△的三邊分別為，，，若，則 。 類8. △中，若，則其外接圓之直徑為 。 類9. 設△中，，，，則 。(84.自) 類10. △中，若，，則 ， ，外接圓半徑= 。 類11. 設圓內接四邊形中，，求？ 類12. 若，則 。 Ans: 1. ，2. ABCD，3. ，4. C，5. 24，6. 銳角，7. ，8. ，9. ，10. ，11. ， 12. 。 圓內接四邊形，，，，則對角線 ，= 。 類1. 圓的內接四邊形中，已知，，，，則 ，面積= 。 類2. 如右圖，為半圓的直徑，、為半圓周上兩點。令，，，。試證：為方程式的一根。(81.自) Ans: 1. 3,，2. 略。 設中，，若為上異於之一點，，求？ 敘述並證明平行四邊形定理，並利用此定理敘述並證明三角形的中線定理。 類1. 在△中，，，，若為邊之中線，為之角平分線，則= ，= 。 類2. △中，的角平分線交於。已知，，則(1)△的面積為 。(2)線段的長度為 。(3)△的面積為 。(85.社) ABDC類3. 已知△三邊長分別為，，，延長至，如右圖所示，使得，則 。(86.社) A B D C 類4. 中，，內分為，求？ Ans: 1. ，2. (1),(2),(3)，3. ，4. 5。 若△之三邊所對應之高分別為，，，，則其最小內角的餘弦為 。三邊長為 。 類1. 若△之三邊所對應之高分別為，，，，則其最小內角的餘弦為 。 Ans: 1. 。 設△滿足下列條件，試分別判別其形狀： 。 。 。 類1. 在已知三角形中，三內角的正弦比 ，則此三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？ 類2. 已知△，，則△為 △？ 類3. 已知△，，則△為 △？ Ans: 1. 直角，2. 直角，3. 等腰。