2．4 平面向量的数量积 教案4.docVIP

平面向量的数量积 教案 　 　　教学目标 　　1．理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值范围[0，π]． 　　2．理解掌握两个非零向量的数量积(内积) cosθ的定义及其几何意义． 　　3．理解掌握两向量共线、垂直的几何判定． 　　4．理解掌握平面向量数量积的五个重要性质． 　　教学重点和难点 　　重点：本节课是全章的重点内容，所有内容都非常重要，主要有：平面向量夹角的概念；平面向量数量积的定义；平面向量数量积的几何意义；平面向量共线、垂直的判定；平面向量数量积的五个重要性质． 　　难点：对平面向量数量积的定义，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握． 　　教学过程设计 　　(一)学生阅读课文． 　　阅读思考题： 　　(1)怎样定义平面内两向量的夹角． 　　(2)什么是平面向量的数量积，它的几何意义是什么？ 　　(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行． 　　(4)平面向量的数量积有那些重要性质． 　　(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评． 　　1．平面向量的夹角： 　　(1)两向量的夹角：已知非零向量，作，∠AOB＝θ，(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．当θ＝0时， 与同向；当θ＝π时， 与反向． 　　(2)两向量的垂直：如果与的夹角是90°，则说与垂直，记作． 　　2．平面向量的数量积： 　　已积两个非零向量和，它们的夹角为θ，把数量|a|·|b|cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作，即cosθ．并且规定零向量与任一向量的数量积为0． 　　(1)两个平面向量的数量积是一个数量，不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 　　(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同， 的数值与向量的夹角有关，而a·b没有这一因素，因之二者有不同之处． 　　如当a≠时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量即有＝0，这与a·b＝0，则a＝0或b＝0不同． 　　又如，已知实数a、b、c，(b≠0)由ab＝bc我们可以推出a＝c，但对于向量，这种推理是不正确的． 并不能一定推出． 　　即cos＝cos这里表示向量与的夹角， 表示向量与的夹角，由cos＝cos可推得，，推不出． 　　3．两向量共线与垂直的判定 　　两向量共线，若与共线同向，θ＝0．则；若与共线反向，θ＝π，则 　　 　　重要方法： 　　4．平面向量数量积的几何意义： 　　(1)投影：在cosθ中， cosθ叫做向量在方向上的投影．当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是零；当θ＝0°时，它是；当θ＝180°时，它是－． 　　(2) 的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积． 　　5．平面向量数量积的五个重要性质： 　　设， 都是非零向量， 是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角． 　　(1) (提问学生，给出证明) 　　证： 　　(2) 　　证：，向量与的夹角为90°， 　　 　　＝0，即cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝90° 　　 　　(3)当与同向时，；当与反向时，．特别地 　　 　　证： 与同向， 与的夹角为0°． 　　 　　与反向， 与的夹角为180°． 　　 　　因与的夹角为0°． 　　 　　即 　　(4)cosθ＝． 　　证：∵ 　　这是求两向量夹角时常用的公式． 　　(5) 　　证：． 　　这里|cosθ|≤1．∴ 　　在以上这五个性质中，较常用的是： 　　 　　 　　cosθ＝同学们要牢牢掌握． 　　(三)学生练习，教师辅导． 　　练习1：课本练习2． 　　解： ＝8， ＝6， 、夹角60°． 　　·＝·cos60°＝24． 　　练习2：课本练习3． 　　 　　 　　θ＝135°． 　　练习3：课本练习4． 　　解：△ABC中， ＝， ＝． 　　当＜0时， 、夹角为钝角，△ABC为钝角三角形． 　　当＝0时， ⊥，△ABC为直角三角形． 　　 　　解： 　　 　　 　　练习5： ＝4， 与的夹角为30°，求与方向上的投影． 　　 　　练习6：已知＝－40， ＝10， ＝8，求与的夹角θ． 　　 　　 　　(四)教师小结． 　　1．平面向量的数量积，射影． 　　2．平面向量的性质，(2)，(3)，(4)． 　　(五)作业?