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北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. ； 10. ； 11. ；
12. ； 13. 和，； 14. ① ② ③.
注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由，得． ………………3分
所以原式化为． ………………4分
因为，所以 ， 所以 ． ………………6分
因为， 所以 ． ………………7分
（Ⅱ）解：由余弦定理，
得 ． ………………9分
因为 ，，
所以 ． ………………11分
因为 ， 所以 . ………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设从（）班抽取的人数为，
依题意得 ，所以，
研究性学习小组的人数为． ………………5分
（Ⅱ）设研究性学习小组中（）班的人为，（）班的人为．
次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，共种． ………………9分
次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：
，，，，，，，，，
，，，共种． ………………12分
所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为． ………………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，
所以 ∥∥，．
所以 四边形是平行四边形，……………2分
所以 ∥， ………………3分
因为 平面，
所以 ∥平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：连接，设．
因为平面平面，且，
所以 平面， ………………5分
所以 ． ………………6分
又 ， 所以四边形为正方形，所以 ． ………………7分
所以 平面， ………………8分
所以 ． ………………9分
（Ⅲ）解：设，则，其中．
由（Ⅰ）得平面，
所以四面体的体积为． ………………11分
所以 ． ………………13分
当且仅当，即时，四面体的体积最大． ………………14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，则．
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