2．4 平面向量的数量积 教案1.docVIP

一．课题：平面向量的数量积（1） 二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念； 2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围； 3.掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4.掌握向量数量积的性质。 三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。 四．教学过程： （一）引入： 物理课中，物体所做的功的计算方法： （图1）（其中是与的夹角）． （图1） （二）新课讲解： 1．向量的夹角： 已知两个向量和（如图2），作，，则 （图2）（）叫做向量与的夹角。 （图2） 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2．向量数量积的定义： 已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即． 说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关； ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念： 如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则． 叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是． （2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 【练习】：①已知，，与的夹角，则； ②已知，在上的投影是，则 8 ； ③已知，，，则与的夹角． （3）数量积的性质： 设、都是非零向量，是与的夹角，则 ①； ②当与同向时，；当与反向时，； 特别地：或； ③； ④； 若是与方向相同的单位向量，则 ⑤． 4．例题分析： 例1．已知正的边长为，设，，，求． 解：如图，与、与、与夹角为， ∴原式 ． 例2．已知，，，且，求． 解：作，， ∵， ∴， ∵且， ∴中，， ∴，∴，， 所以，． 五．课后练习：课本练习第2，3，4． 补充：1．若非零向量与满足，则 0 ． 六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。 七．作业：课本习题5.6第3，6题。