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2005——2006学年高二第一学期期末考试数学试题
（时间90分钟，满分100分）
题号
一
二
三
总分
1—10
11—14
15
16
17
18
19
得分
一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.若，则 .
2.若是某三角形的两个内角，且行列式，则的值为 .
3.已知，若，则实数的值为 .
4.若，且，则向量与的夹角为 .
5.一架飞机向东飞行100千米，然后改变方向向南飞行100千米，则这架飞机两次位移的和为 .(精确到千米)
6.已知点与，且.则所在直线的点方向式方程为 .
7.经过点，且与向量垂直的直线的点法向量式方程为 .
8.与双曲线有共同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 .
9.椭圆的一个焦点是，那么 .
10.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
（1）焦点在轴上； （2）焦点在轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；（4）焦点到准线的距离为4；
（5）由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.
能使抛物线方程一定为的条件是 （要求填写合适条件的序号）
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
11.下列命题正确的是 ( )
A.如果，那么或； B.如果都是非零向量，那么；C.如果，那么或； D.如果，那么或.
12.已知两点，则过点的直线的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
13.已知两个观察站相距1千米.一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比处快2秒钟，则点一定在 ( )
A.以为焦点的双曲线的左半支上 B.以为焦点的右半支上
C.以为焦点的椭圆上 D.在向量的延长线上
14.设是非零实数，则方程及所表示的图形可能是( )
三、解答题（本题共5题，满分54分）
15.（本题满分10分）
已知两条直线，试讨论直线与之间的位置关系.
16.(本题满分10分)
已知定圆，动圆和已知圆内切，且过点，求圆心的轨迹及其方程.
17.(本题满分10分)
已知双曲线的一条渐近线方程是，若双曲线经过点，求双曲线的标准方程.
18. (本题满分12分)
设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于.试求向量与的数量积.
19. (本题满分12分)
一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由.
参考答案
选择题：1.或 2. 3. 4. 5.东偏南方向141千米
6. 7. 8. 9.
10.(1)(3)或(1)(5)或(1)(3)(4)或(1)(4)(5)
11.C 12.D 13.A 14.C
15.当且时，直线与相交；
当时，直线与平行；当时，直线与重合.
16.圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且其方程为.
17.双曲线的标准方程是.
18..
19.建立如图所示的坐标系，则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为：.
令，则代入椭圆方程，解得，
因为，
所以，卡车可能通过此隧道.
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