高二数学上学期抛物线及标准方程.docVIP

抛物线及标准方程 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1） （2） 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程． 解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是： （2）原抛物线方程为：， ①当时，，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是：． ②当时，，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是：． 综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：． 典型例题二 例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k． 解法一：设、，则由：可得：． ∵直线与抛物线相交，且，则． ∵AB中点横坐标为：， 解得：或（舍去）． 故所求直线方程为：． 解法二：设、，则有． 两式作差解：，即． ， 故或（舍去）． 则所求直线方程为：． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为．如图所示，只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知： 在直角梯形中： ，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 典型例题四 例4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值． （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标． 分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标． 解：（1）由得： 设直线与抛物线交于与两点．则有： ，即 （2），底边长为，∴三角形高 ∵点P在x轴上，∴设P点坐标是 则点P到直线的距离就等于h，即 或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）． 典型例题五 例5 已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线． 分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明且即可． 证明：如图所示，连结PA、PN、NB． 由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P． ∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有． 则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线． 典型例题六 例6 若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来． 证法一：，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时， 则有,． 若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：，且设． 由得： ① ② 根据抛物线定义有： 则 请将①②代入并化简得： 证法二：如图所示，设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知， 又∽， 即 故原命题成立． 典型例题七 例7 设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一：抛物线的焦点为， 过焦点的弦AB所在的直线方程为： 由方程组消去y得： 设，则 又 即 证法二：如图所示，分别作、垂直于准线l．由抛物线定义有： 于是可得出： 故原命题成立． 典型例题八 例8 已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求 （1）AB的倾斜角的取值范围． （2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可． 解：（1）由已知得．故P到的距离，从而 ∴曲线C是抛物线，其方程为． 设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点． ∴k存在．设AB的方程为 由可得： 设A、B坐标