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高三数学复习三角函数 陕西特级教师????????安振平 高考风向标 主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性． 典型题选讲 例1 （1）已知： （2）已知：的值. 点评　三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上 　　　　　 例2 已知电流I与时间t的关系式为． （１）右图是（ω＞0，） 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 讲解　本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力． （１）由图可知 A＝300． 设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝． ∴ ω＝＝150π． 又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0， 而， ∴ ＝． 故所求的解析式为． （２）依题意，周期T≤，即≤，（ω0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整数ω＝943． 点评　　本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径． 例３　已知函数. （１）求实数a，b的值； （２）求函数的最大值及取得最大值时x的值. （１）函数 讲解　学会翻译，逐步展开解题思维． 时，函数f(x)的最大值为12. 点评　结论是历年高考命题的热点之一． 例4 已知tan2θ＝－2 EQ \r(2)，π＜2θ＜2π，求 EQ \f(2cos2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin(θ＋\f(π,4))). 讲解 解题目标中含有角，可向角转化，以便出现；而条件中的可向转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上 原式＝ EQ \f(1＋cosθ－sinθ－1,\r(2)sin(θ＋\f(π,4)))  　　　　　＝ EQ \f(cosθ－sinθ,sinθ＋cosθ) 　　　　　 ＝ EQ \f(1－tanθ,1＋tanθ)　， 由　　　tan2θ＝ EQ \f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2\r(2)，解得　　　tanθ＝－ EQ \f(\r(2),2)或tanθ＝ EQ \r(2)，∵π＜2θ＜2π，∴ EQ \f(π,2)＜θ＜π，∴tanθ＝－ EQ \f(\r(2),2) ，∴原式＝ EQ \f(1－(－\f(\r(2),2)),1＋(－\f(\r(2),2)))＝3＋2 EQ \r(2)． 点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路. 例５ 在中，，，，求的值和的面积． 讲解　本题是２００４年北京高考试题，下面给出两种解法． 法一　先解三角方程，求出角A的值． 又, . 法二　由计算它的对偶关系式的值． = 1 \* GB3 ① , . = 2 \* GB3 ② 　 = 1 \* GB3 ①　+　 = 2 \* GB3 ②　得　　. 　 = 1 \* GB3 ①　－　 = 2 \* GB3 ②　得　　. 从而　．以下解法略去． 点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 例６　设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R. （１）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x； （２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值. 讲解　（１）依题设可知，函数的解析式为 f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程 sin(2 x +)=－．　 ∵-≤x≤， ∴-≤2x+≤， ∴2x+=-，即x=-． （２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（１）得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|，∴， 点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平