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高三数学复习数列 陕西特级教师??????安振平 高考风向标 数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． 典型题选讲 例１　若数列{an}满足若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 讲解　逐步计算，可得 , 这说明数列{an}是周期数列，而, 所以．应选B． 点评　分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色． 例２　在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列. （１）写出这个命题的逆命题； （２）判断逆命题是否为真，并给出证明. 讲解　（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列. （２）设{an}的首项为a1，公比为q 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 , ∴2q2－q－1=0 , ∴q=1或q=－. 当q=1时， ∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1， ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列. 当q=－时, 2 Sm+2=, ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列． 综上得：当公比q=1时，逆命题为假； 当公比q≠1时，逆命题为真． 点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题． 例３　设数列{an}前n的项和为 Sn，且其中m为常数， （1）求证：{an}是等比数列； （2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求． 讲解（1）由，得 两式相减，得 是等比数列． 　　 点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题． 例４　设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. （１）求数列的通项公式（用S1和q表示）； （２）试比较的大小，并证明你的结论. 讲解　（１）∵是各项均为正数的等比数列， ∴． 当n=1时，a1=S1； 当． ∴ （２）当n=1时， ∴． ∵ ①当q=1时， ②当 ③当 综上以上，我们可知：当n=1时，．当 若 若 点评　数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式： 例５　已知数列满足0，且对一切n∈N*，有， (1) 求证：对一切n∈N*，有； (2) 求数列的通项公式； (3) 求证：． 讲解 (1)　由　 ① 得　　　　　　　 ② ②-①得　　　　=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1 ∵ an+1 0， ∴ ． 由，得 (n≥2)， 两式相减，得 (an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an， ∵an+1+ an 0， ∴an+1 - an =1．(n≥2) 当n=1，2时易得，a1=1，a2=2，∴an+1 - an =1(n≥1) ． 从而{ an}是等差数列，其首项为a1=1，公差d=1，故an=n ． (3)　　 　　点评　关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小． 例6 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度． （1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解　(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有 …　　　　　　　　　　　　　… ∴＝, . , ． , , 即. （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得