1．4 三角函数的图象与性质 教案6.docVIP

课题：三角函数的图象与性质（三） 课型：新授课 课时计划：本课题共安排二课时 教学目标： 1、理解并会判断正、余弦函数的奇偶性； 2、培养学生直观猜想,归纳抽象,演绎证明的能力； 3、培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神. 教学重点： 求正、余弦函数的奇偶性. 教学难点： 正、余弦函数奇偶性的证明. 教学过程： 一、创设情境，引入新课 我们已经知道正、余弦函数的定义域，值域 那它们除此之外还有哪些性质呢？本节我们研究正余弦函数的奇偶性, 引导学生观察正余弦函数图象的对称性. 正弦函数的图象关于原点对称; 余弦函数的图象关于y轴对称. 怎样证明这两个结论呢? 设(x,y)是正弦曲线 y=sinx上的任意一点,即P(x, sinx) 是正弦曲线上的一点,它关于原点的对称点是(-x,-y)即Q(-x,- sinx) 现在只要证明(-x,- sinx)也是正弦曲线上的点.由诱导公式sin(-x)=- sinx可知,这个对称点就是 (-x ,sin(-x)).它显然也在正弦曲线上.所以正弦曲线关于原点对称. 这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称. 同学们仿照证明 y=cosx关于y轴对称 分析:设 从余弦函数的图象上任取一点P(x,y),即P(x,cosx),其关于y轴对称点P′(-x,y)即P′(-x,cosx)由诱导公式cos(-x)=cosx知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？ 这说明若将余弦曲线延着y轴折叠,y轴两旁的部分能够互相重合,即余弦曲线关于y轴对称. 二、新课讲解 ㈠知识要点： 1、奇函数的定义： 一般的, 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数. 定义知正弦函数是奇函数. 关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称.正弦函数是这样的. 注意:(1)对于定义域内任任意一个x,都有f(-x)=-f(x),所以-x也在定义域内故判断一个函数是否为奇函数,一定要判断定义域是否关于原点对称; (2)若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0 函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？函数y=sinx,x∈[-π/2, π/2]是奇函数吗？ 2、偶函数的定义:一般的,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数. (关于y轴对称) 定义知余弦函数是偶函数. 函数y=cosx, x∈[0,π]是否为偶函数 ? 关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称.余弦函数是这样的. 从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性. 正弦函数，是奇函数，余弦函数，是偶函数。 理解：（1）由诱导公式，可知以上结论成立； （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于轴对称. 三.典例精讲 例1：判定下列函数的奇偶性 (1)y=-sinx x∈R (2)y=|sinx|+|cosx| x∈R (3)y=1+sinx x∈R 解: (1)f(-x)=- sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=-sin3x, x∈R是奇函数. (2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=|sinx|+|cosx|, x∈R是偶函数. (3)f(-x)=sin(-x)+1=1-sinx f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)可知y=f(x)=1+sinx x∈R 即不是奇函数也不是偶函数. 四.巩固训练 1.下列命题正确的是( ) A.y=-sinx 为偶函数 B.y=|sinx|是非奇非偶函数 C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx-1为奇函数 2.函数y=cos(x+π/2), x?R ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.即不是奇函数也不是偶函数 D.有无奇偶性不能确定 3.判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (1)y=|sinx| x∈(-2π,2π) (2)y=3cosx-1 (-5,5) (3)y=3si