单调数列的极限.pdf

第一讲 极限与连续 一、 单调数列的极限 x f (x ) (n 1,2 ) 在学习数列极限过程中， 有一类数列是由递推式 n 1 n ， ， 确 定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限” 的数列极限存在准则来判 断极限的存在性，并求出它的极限值。 1. 递推数列 x f (x )，(n 1,2， ) 单调性的判断： n 1 n (i) 若 f (x ) 0 ,则数列 { x }( n 1,2， ) 是单调的，当 x x ,数列 { x } n 1 2 n 单调不减，当 x x ,数列 { x } 单调不增； 1 2 n (ii) 若 f (x) 0 ,则数列 { x }( n 1,2， ) 不是单调的，但它的两个子列： n 奇子列 { x }( n 1,2， ) 和偶子列 { x }( n 1,2， ) 却是单调的， 并具有相反的单 2 n-1 2 n 调性，即当 x x 时,数列 { x } 就单调不减， { x } 单调不增，反之当 x x 时, 1 3 2 n- 1 2n 1 3 数列 { x } 单调不增， { x } 就单调不减。 2 n-1 2 n 2. 递推数列 x f (x )，(n 1,2， ) 有界性的证明常借助于均值不等式 n 1 n x1 x2 xn x x x 1 2 n n 和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出 f (x ) 的最大值或最小值。此最值 就是数列的上界和下界。 3. 求极限。 (i) 由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限 A lim x lim f (x ) n 1 n ，解方程 A f ( A) ，即可求得极限 A 。 n n (ii)若两子列的极限 lim x2 n-1 ， lim x2n -1 存在且相等，则数列 lim xn 存在。 n n n 1