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函数值域求解方法 函数值域求解方法 函数值域求解方法 求函数值域的方法很多，但须依据函数解析式结构特征来确定相应解法。由于函数值域取决于定义域和对应法则，所以无论采用什么方法求函数值域，均应考虑定义域。要掌握好函数值域求法，首先应重视基本函数的的值域：一次函数y=kx+b(k ≠0) 值域R ；二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) , 当a0时, 值域为 ??4ac -b 2?4ac -b 2?k -∞, ?y =x +(k ≠0) 值域{y ∈R |y ≠0) ；指; 当a x 数函数y =a x (a 0, a ≠1) 值域{y|y0}；对数函数y =log a (a 0, a ≠1) 值域R 。现将一般函数值域求解方 法归纳分析如下，供同学们参。 一、 反函数法 利用函数和它的反函数定义域和值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y =cx +d (a ≠0) 的函数值域，均可使用反函数法。另外，这种类型的函数值域也可采用分离常数法。 ax +b 2x +1例1、 求函数y =的值域。 x -3 2x +13x +1解法1；（反函数法） y = 反函数为y =，其定义域为{x |x ≠2}，故原函数值域为x -3x -2 {y |y ∈R , y ≠2} 解法2：（分离常数法） y = 域{y |y ∈R , y ≠2}。 二、配方法 配方法是求二次函数值域的基本方法，形如F (x ) =a [f (x ) +bf (x ) +c ]的函数值域问题， 均可使用配方法。 x 例2、 已知f (x ) =2+log 3, x ∈[1, 3]，求函数y =[f (x )]2+f (x 2) 值域。 x x 2x 解：由f (x ) =2+log 3, x ∈[1, 3]， 得 y =[f (x )]2+f (x 2) =(2+l o g 2) +2+l o g 2 x 2x x =(log3) +6log 3+6=(log3+3) 2-3。 又函数f(x)定义域[1,3]， 22x +12(x -3) +7772x +1==2+≠0，∴y =，其中的值x -3x -3x -3x -3x -32 所以函数y =[f (x )]+f (x ) 定义域为22{1≤x ≤3 1≤x ≤32x ，解得1≤x ≤3，所以log 3∈[0, ]。 1 由二次函数单调性得，6≤y ≤37?37?，所求函数值域为?6, ?。 4?4? 三、换元法 运用变量代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数值域，形如 y =ax +b +cx +d (a , b , c , d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。 例3、 求函数y =2x +-2x +1值域。 12551-t 2 2解：令t =-2x (t ≥0) ，则x =，则 y =-t +t +1=-(t -+≥， 2442 所以所求函数值域为[, +∞) 。 注：（1）换元前后的等价性。题中t =-2x t ≥0，而不是看解析式有意义的t 取值范围； （2）换元后可操作性。 四、判别式法 把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式?≥0，求得54 a 1x 2+b 1x +c 1原函数值域，形如y = (a 2, a 2不同是为0）分子、分母无公因式的函数值域常用此法。2a 2x +b 2x +c 2 例4、 求下列函数值域 3x 2x 2+4x -7（1）y =2；（2）y =2。 x +4x +2x +3 解；（1）由y =3x 2，得 yx -3x +4y =0。 2x +4 33?33?≤y ≤, 故原函数值域为?-, ? 44?44? 2当y=0时, x=0; 当y ≠0时, 由?≥0 得-2（2）将已知函数式变形为yx +2yx +3y =2x +4x -7, 2即(y -2) x +2(y -2) x +3y +7=0，显然y ≠2，将上式视做关于x 的一元二次方程。 x ∈R , 即上述关于x 的一元二次方程有实根，所以 [2(y -2)]2-4(y -2)(3y +7) ≥0， 解得-9?9?≤y ≤2. 又y ≠2，函数值域为?-, 2?。 2?2? 22五、利用函数有界性 形如x =g (x ) 等，因为x ≥0，可求y 范围，从而求出其值域。 2x +1例5、 求y =x