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高中数学基本不等式教案 高中数学基本不等式教案 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 1、知识与技能目标 ≤, 认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程, 学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 ≤等号成立条件。 教师启发引导与学生自主探索相结合 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积, 你会得到怎样的相 等和不等关系？ 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a 2+b 2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a 2+b 2≥2ab 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a 2+b 2=2ab 。 2．得到结论：一般的，如果a , b ∈R, 那么a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取 = 号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a 2+b 2-2ab =(a -b ) 2 当a ≠b 时,(a -b ) 20, 当a =b 时,(a -b ) 2=0, 所以，(a -b ) 2≥0，即(a 2+b 2) ≥2ab . 4．基本不等式 1）特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a 、b ，可得a +b ≥，通常我们 (a0,b0) 2 ≤用分析法证明： 只要证 a +b ≥2 (2) 要证（2），只要证 a+b-2ab ≥0 （3） 要证（3），只要证 （a -b ）2 ≥0 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 (a 0, b 0) 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . a +b a +b ≥ab ，其中当且仅当，显然，它大于或等于CD ，即 点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。 我们称ab 为正数a , b 的几何平均数，称为正数a , b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5. 随堂练习 已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ≥ab （a ＞0，b ＞0）灵活变形，分析：对于此类题目，选择定理：2 解：∵a ，b ，c 都是正数 这个圆的半径为 ∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0 ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【课时小结】 本节课，我们学习了重要不等式a 2+b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数 a +b a +b ≥ab ）. 它们成立的条件），几何平均数（ab ）及它们的关系（22 不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数. 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变 a +b 2a 2+b 2 ) . 形来解决问题：ab ≤, ab ≤(22 思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）换元法、分析法 （3）配凑等技巧