大一高数笔记.pdf

精心整理 导数与极限 （一）极限 1.概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（ 定义） lim f (x) A x a 0 ， 0 ，当 0 | x a | 时，有 | f (x) A | 。 （2 ）单侧极限 f (a 0) lim f (x ) A 0 a x | f (x) A | 左极限： x a 0 ， 0 ，当 时，有 。 lim f (x ) A 右极限： f (a 0) x a 0 ， 0 ，当 0 x a 时，有 | f (x) A | 。 （3 ）自变量趋向于无穷大的函数极限 定义 1： 0, X 0 ，当 x X ，成立 f x A ，则称常数 A 为函数 f x 在 x 趋于无穷时 lim f x A 的极限，记为 x 。 y A 为曲线 y f x 的水平渐近线。 0， X 0 f x A lim f x A 定义 2 ： ，当 x X 时，成立 ，则有 x 。 定义 3： 0， X 0 ，当 x X 时，成立 f x A ，则有 xlim f x A 。 运算法则： ??????? lim f x A ， lim g x ，则 lim f x g x 。 1) 1) 若 ??????? lim f x A 0,但可为 ，lim g x ，则 lim f x g x 。 2) 2) 若 1 lim 0 ??????? lim f x ，则 f x 。 3) 3) 若 注：上述记号 lim 是指同一变化过程。 （4 ）无穷小的定义 0 ， 0 ，当 0 | x a | 时，有 | f (x) | ，则称函数 f (x) 在 x a 时的无穷小（量），即 lim f (x) 0 x a 。 （5 ）无穷大的定义 M 0 ， 0 ，当 0 | x a | 时，有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在 x a 时的无穷大（量）， lim f (x) 记为 x a 。 直线 x a 为曲线 y f x 的垂直渐近线。 2 ．无穷小的性质 定理 1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理 2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系 1 lim f (x ) f (x ) f (x ) 若 x a ，且 不取零值，则 是 x a 时的无穷小。 精心整理 精心整理 3 ．极限存在的判别法 lim f (x ) A f ( a 0) f (a 0) A