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第一讲 数与式的运算 第一讲 数与式的运算 第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 【公式1】(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 证明： (a +b +c ) 2=[(a +b ) +c ]2=(a +b ) 2+2(a +b ) c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 12x +) 2 解：原式=[x +(-2x ) +] 【例1】计算：(x - =(x 2) 2+(-2x ) 2+() 2+2x 2(-2) x +2x 2?+2??(-2x ) =x 4-22x 3+x 2-x + 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a +b )(a -ab +b ) =a +b (立方和公式) 证明: (a +b )(a -ab +b ) =a -a b +ab +a b -ab +b =a +b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a -b )(a +ab +b ) 解：原式=[a +(-b )][a -a (-b ) +(-b ) ]=a +(-b ) =a -b 我们得到： 【公式3】(a -b )(a +ab +b ) =a -b (立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算： （1）(4+m )(16-4m +m 2) （2）(m - n )(m 2+mn +n 2) 225104 （3）(a +2)(a -2)(a 4+4a 2+16) （4）(x 2+2xy +y 2)(x 2-xy +y 2) 2 解：（1）原式=4+m =64+m （2）原式=(m ) -(n ) = m -n 1258 （3）原式=(a 2-4)(a 4+4a 2+42) =(a 2) 3-43=a 6-64 （4）原式=(x +y ) 2(x 2-xy +y 2) 2=[(x +y )(x 2-xy +y 2)]2 =(x 3+y 3) 2=x 6+2x 3y 3+y 6 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结 （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、4、?、 10的立方数，是非常有好处的． 的值． x 3 解： x -3x =1=0 ∴x ≠0 ∴x +=3 1211122 原式=(x +)(x -1+2) =(x +)[(x +) -3]=3(3-3) =18 x x x x 【例4】已知x -3x =1=0，求x + 说明：本题若先从方程x 2-3x =1=0中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 【例5】已知a +b +c =0，求 a (+) +b (+) +c (+) 的值． b c c a a b 解： a +b +c =0, ∴a +b =-c , b +c =-a , c +a =-b ∴原式=a ? b +c a +c a +b +b ?+c ? bc ac ab a (-a ) b (-b ) c (-c ) a 2+b 2+c 2 =++=- ① bc ac ab abc a 3+b 3=(a +b )[(a +b ) 2-3ab ]=-c (c 2-3ab ) =-c 3+3abc ∴a 3+b 3+c 3=3abc ②，把②