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切比雪夫多项式 下 切比雪夫多项式lpar;下rpar; 十二、切比雪夫多项式（下） 我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式： T1(t)?t?, T2(t)?[t2?(1?t2)]?(2t2?1)?t2??, T3(t)?[t3?3(1?t2)t]?(4t3?3t)?t3?t?, T4(t)?[t4?6(1?t2)t2?(1?t2)2] ??(8t4?8t2?1)?t4?t2??, 再往下算就越来越麻烦. 其实我们可以利用它的母函数，推导出Tn(t)之间的递推关系，使计算变得较为简单. 4?x24?4tx?x2 ?1??Tn(t)xn ??1?T1(t)x?T2(t)x2??Tn(t)xn?,? tx(4?x2)4?4tx?x2 ?tx??tTn(t)x ?tx??tTn?1(t)xn ??tx?tT1(t)x2??tTn?1(t)xn?,?(128) x2?1n?2 ??T(t)x?n 4n?144(4?4tx?x2) x2(4?x2) ??Tn?2(t)xn,?4n?34 （127）-（128）+（129），得 ?4?x2?tx(4?x2)?x2(4?x2) 4?4tx?x2 ?1?x??[Tn(t)?tTn?1(t)?Tn?2(t)]xn?,? 上式左边的分子显然为 (4?x2)?1?tx?x2???1?x2?(4?4tx?x2) 因而（130）可写为 12x2??1? 1?x?1????Tn(t)?tTn?1(t)?Tn?2(t)?xn， 44n?3?4? Tn(t)?tTn?1(t)?Tn?2(t)?xn?0. ?? 因而xn的系数都必须为0，于是得计算Tn(t)的递推分式： Tn(t)?tTn?1(t)?Tn?2(t)?,?(n?3?,?4?,?5?,??) （131） 从这个公式计算Tn(t)就比较方便了. 例如从T3(t)，T4(t)很容易算出 11?1?3?? T5(t)?tT4(t)?T3(t)?t?t4?t2????t3?t? 48?4?4?? 55 ??t5?t3?t?, 从T4(t)，T5(t)又很容易算出T6(t)： T6(t)?tT5(t)?T4(t) 455?1?1?? ??t?t5?t3?t???t4?t2?? 416?4?8??391 ??t6?t4?t2??. 从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式Tn(t)的最高次项的系数都是1. 但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单. 切比雪夫多项式有许多有趣的性质，这里只讨论其中较为重要的一个. 为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念. 我们把满足不等式a?x?b的实数x的全体称为一个闭区间，记为[a，b]. 例如 ??x?2的实数x的全体， 表示满足不等式[-1，1]表示满足不等式?1?x?1??,?2?2?2?? 的实数x的全体. 把所有首项系数为1的n次多项式的全体记为Hn，那么对于任意实数 a0?,?a1?,???,?a P(x)?xn?an?1xn?1???a1x?a0 都是Hn中的多项式. 我们用P(x)∈Hn表示P(x)是Hn中的多项式. 例如 Q(x)?x4?3x2?x?5，则Q(x)?H4. 由于Tn(t)是首项系数为1的n次多项式，所以Tn(t)∈Hn. 设f(t)是定义在[a，b]上的任一函数，当t由a变到b时， |f(t)|也跟着变化，设|f(t)|的最大值是M，我们把它记为 M?max|f(t)|， M?max|f(t)?0|. 因此也称M为函数f(t)与0在区间[a，b]上的偏差. 现在设P(t)是Hn中任一多项式，P(t)与0在[-1，1]上的偏差设为MP，即 MP?max|P(t)|. 显然，MP是随着多项式P(t)的不同而变化的一个正数，即对于不同的P(t)，它与0的偏差也是不同的. 我们问，Hn中哪一个多项式与0的偏差最小？下面将要证明，这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式. 定理15 在最高次项系数为1的所有n次多项式中，在闭区间[-1，1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式 cos(narccost). 证明 我们先研究一下，在[-