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游戏中的条件概率 游戏中的条件概率 The conditional probability of the game Abstract: The conditional probability is a very important probabilistic type in Probability Theory. In real life there are many specific applications of conditional probability. In the article ，specifically discussed the conditional probability of a game application, and this game made the situation extended analysis. Keyword: Conditional probability, Game selection 游戏中的条件概率 摘要：条件概率是概率论中很重要的一种概率类型。在现实生活也有很多应用。文中具体讨论了条件概率在游戏中的应用，并且对游戏的情况进行了扩张分析。 关键词：条件概率，游戏中的选择 概率的问题贯穿生活的各个方面，每一个地方都会用到概率。有可能一个小小的改变就会有一个相差很远的结果，正所谓“失之毫厘谬以千里”。2021年5 月26日，俄罗斯的联盟号宇宙飞船返回地球时，与预计的降落地点相差了460公里，究其原因是因为一个陀螺仪的开关未正常开启。就因为一个小小的改变，就使飞船降落到预定地点的可能性几乎降到了 0，并且出现了很大的误差。 所以在概率问题中，条件的限定是非常重要的。条件概率也是来概率论中非常重要的一部分。这里有一个很有趣的游戏，让我们来分析一下其中的概率问题。 有一个游戏节目。现给三扇门供你选择：其中一扇门后面是一个大奖，另两扇门后面什么都没有。你的目的当然是拿大奖，但是你显然不知道哪个门后面有大奖。主持人（他知道哪个门后面有奖品）先让你做第一次选择。在你选择了一扇门后，主持人并没有立刻打开这扇门，而是打开了另外一扇没有奖的门给你看。现在，主持人告诉你，你有一次重新选择的机会。那么，请你思考一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择？哪种做法更有可能中大奖？ 这个问题貌似很简单：主持人排除一扇没奖的门之前做选择是三选一，得奖的概率是1/3，而排除之后是二选一，得奖的概率是1/2，显然1/2 1/3。但其实这个算法是不完全正确的。坚持第一次的选择不变，获奖的概率的确是1/3；但是改变第一次的选择，获奖的概率不是1/2，而是2/3！ 同学不妨先看看穷举法得到的结果： 注释：A,B,C 代表三扇不同的门；Y 表示此门有大奖，N 表示此门没有奖；1表示第一次的选择，2表示第二次的选择；X 表示这扇门被主持人排除的门。 若是坚持第一次的选择不变，那么就只看带有1的部分：在三个1里面，跟Y 一列的（即中奖的）只有一个，因此获奖概率是1/3。若是改变第一次的选择，那么就只看带有2的部分：在三个2里面，跟Y 一列的有两个，因此获奖的概率是2/3，而不是1/2。这个穷举法有个条件：里面的1不能出现在相同的行（这种情况违反逻辑），也最好不要出现在相同的列，这样才能保证每一个1的概率都相等。 实际上，这是一个“条件概率”的计算。你先任意选择一扇门，每扇门被选中的概率都是1/3，然后基于你的选择这个前提条件，主持人再选择一扇门。倘若你第一次选了一扇没有奖的门，那么，主持人选择一扇没有奖的门的条件概率是1，联合概率是1/3；倘若你第一次选了一扇有奖的门，那么主持人选择一扇没有奖的门的条件概率是1/2，联合概率是1/3*1/2=1/6。所以，不换的中奖概率是1/6+1/6=1/3，换的中奖概率是1/3+1/3=2/3 。 为什么会是这样？因为除了主持人排除了一扇门这个明显的限制条件之外，还有一个隐含的限制条件：改变第一次的选择。就是说，只要你改变第一次的选择，那么你就不是在剩下的“两”扇门中间做选择，你只有唯一的一扇门可选了。这个时候，你更像是跟之前的自己作对：如果之前你的选择有1/3的概率中奖，那么此时改变选择之后，你就有1/3的概率与大奖擦肩而过；如果之前你的选择 有2/3的概率落空，那么此时改变选择之后，你就有2/3的概率把大奖抱回家。所以这不仅仅是数学的较量，还是心理的较量。 现在我们把情况扩大到四扇门 A B C D Y N N N 1 2 X 2 2 1 X 2 2 X 1 2 2