回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点.pdf

0-1 背包问题 计科 1 班 朱润华 2012040732 方法 1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 （最 优）解。对于 0-1 背包问题，解空间由长度为 n 的 0-1 向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时，解空间为： ｛（0 ，0，0 ），（0 ， 1， 0），（0 ，0 ，1），（1，0 ，0 ）， （0 ， 1， 1），（1， 0， 1），（1， 1， 0），（1， 1， 1）｝ 然后可将解空间组织成树或图的形式， 0-1 背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。 物品 i 的重量是 wi ，其价 值为 vi ，背包的容量为 C。问 : 应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大 ? 形式化描述：给定 c 0, wi 0, vi 0 , 1 ≤i ≤n. 要求找一 n 元向量 (x1,x2, …,xn,), xi ∈{0,1}, ? ∑ wi xi ≤ c, 且∑ vi xi 达最大 . 即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1 背包问题是子集选取问题。 0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在有哪些信誉好的足球投注网站解空 间树时， 只要其左儿子节点是一个可行节点， 有哪些信誉好的足球投注网站就进入左子树。 当右子树中有可能含有最 优解时，才进入右子树有哪些信誉好的足球投注网站。否则，将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和， cp 是 当前价值； bestp 是当前最优价值。当 cp+r=bestp 时，可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序， 然后依次装入物品， 直至装不下时， 再装 入物品一部分而装满背包。 例如： 对于 0-1 背包问题的一个实例， n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 。这 4 个物 品的单位重量价值分别为 [3,2,3,5,4] 。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物 品 4，然后装入物品 3 和 1. 装入这 3 个物品后， 剩余的背包容量为 1，只能装 0.2 的物品 2。 由此得一个解为 [1,0.2,1,1] ，其相应价值为 22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价 值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过 22。 在实现时，由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息， 以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处， 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound, 以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include stdafx.h #include iostream using namespace std; templateclass Typew,class Typep class Knap { templateclass Typew,class Typep friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int); private: Typep Bound(int i); void Backtrack(int i); Typew c; // 背包容量 int n; // 物品数 Typew *w; // 物品重量数组 Typ