2020高考真题汇编3：导数及其应用（文）.docx

第 PAGE 5页 2020高考真题汇编3：导数及其应用 一、填空题 1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．若，则a=_________． 3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 二、解答题 4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a0时，讨论函数g（x）=的单调性． 6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数． （1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 8．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 9．【2020年高考北京】已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 10．【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 11．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米． （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 12．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：．  参考答案 1．答案： 解析：设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 2．答案：1 解析：由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 3．答案：①②③ 解析：表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 4．解析：（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则=ex–1． 当x0时，0；当x0时，0． 所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）=ex–a． 当a≤0时，0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增， 故f（x）至多存在1个零点，不合题意． 当a0时，由=0可得x=lna． 当x∈（–∞，lna）时，0； 当x∈（lna，+∞）时，0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）． （i）若0≤a≤，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意． （ii）若a，则f（lna）0． 由于f（–2）=e–20，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点． 由（1）知，当x2时，ex–x–20，所以当