西安电子科技大学《信息安全数学基础》习题1-4.pdf

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2021-07-21 发布于重庆
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习题 1.1 1.(1) 利用最大公约数的表达式证明：若(a,m)= (b,m)= 1 ，则有(ab,m)= 1 ; 证明：(1) 由(a,m)= (b,m)= 1 可知， $x,y,u, vŒZ ，使得 ax+ my = 1 ， bu+ mv= 1 ，于是 (ax)(bu)= (1- my)(1- mv) ，从而 ab(xu)+ m(y + v- myv)= 1 ，由 xu, y + v- myv ŒZ可知，(ab,m)= 1 。若(m,a)= 1 ，则(m,ab)= (m,b) 。证明：由(m,a)= 1 可知，存在整数 x , y 使得 mx + ay = 1 ，从而 0 0 0 0 (m,b)= min{mx+ by |x,y Œ Z} = min{(mx+ by)(mx + ay )|x,y Œ Z} 0 0 = min{m(mx x+ ay x+ bx y)+ aby y)|x,y Œ Z} 0 0 0 0 ¢ ¢ ¢ ¢ = min{mx + aby )|x ,y Œ Z} = (m,ab) (m,a)= 1 m| ab m| b 若，，则。 (m,a)= 1 x, y 证明：由可知，存在整数使得 mx+ ay = 1 ，从而 mbx+ aby = b 由 m| ab即知 m| b。 a b 若(a,b) = d，则( , )= 1 。 d d x, y 证明：由(a,b) = d可知，存在整数使得 ax+ by = d， a b a b ( , )= min{ x+ y |x,y ŒZ } 从而 d d d d 1 a b = min{ax+ by|x,y ŒZ } x+ y = 1 d d