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微分概念及其运算 微分概念及其运算 §2 微分概念及其运算 设y =f (x ) 在x 点可导，即下面的极限存在： ?y f (x +?x ) -f (x ) f (x ) ＝l i ＝l i m ?x →0?x →0?x ?x 因此 ?y ＝f (x ) ＋α，其中α→0（?x →0）， ?x ) x +α?x =f (x ?) x +o (?x ) ?x →0 于是 ?y ＝f (x ?， （函数的增量?y =（?x 的线性函数）+o (?x ) ） 物理意义：如果把y =f (x ) 视为时间x 时所走过的路程， ?x 时间内所走过的路程?y =以匀速f (x ) 运动所走过的路程f (x ) ?x +因为加速度的作用而产生的附加路程o (?x ) 定义4.2 设y =f (x ) 在(a , b ) 有定义，如果对给定的x ∈(a , b ) ，有 ?y ＝f (x +?x ) －f (x ) ＝A ?x ＋o (?x ) ，(?x →0) 其中A 与?x 无关，则称f (x ) 在x 点可微，并称A ?x 为函数f (x ) 在x 点的微分，记为 dy ＝A ?x 或 df (x ) ＝A ?x 由前面的讨论得 微分具有两大重要特征： 2) 微分是自变量的增量的线性函数； 微分与函数增量?y 之差?y -dy ，是比?x 高阶的无穷小量. 因此，称微分dy 为增量?y 的线性主要部分。 事实上当dy ≠0时 o (?x ) ?y dy +o (?x ) ) ＝1 ＝lim ＝lim (1+?x →0?x →0?x →0dy A ?x dy lim 即?y 与dy 是等价无穷小量。 注1 系数A 是依赖于x 的，它是x 的函数， 注2 微分dy 既与x 有关，又与?x 有关，而x 和?x 是两个互相独立的 变量，但它对?x 的依赖是线性的． 例1 自由落体运动中，s (t ) =12gt 2 11g (t +?t ) 2-gt 2 22?s ＝s (t +?t ) -s (t ) ＝= =11g (2t +(?t 2) ) =gt ?t +g (?t ) 2 22 即?s 可表为?t 的线性函数和?t 的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s (t ) 在t 点可微，且微分 ds =gt ?t 它等于以匀速s (t ) ＝gt 运动，在?t 时间内走过的路程． 例2 圆面积y =πR 2， ?y ＝π(R +?R ) 2一πR 2＝2πr ?R +π(?R ) 2． ?y 可表示为?R 的线性函数与?R 的高阶无穷小之和，故函数在R 可微，且微分 dy =2πR ?R 从几何上看，微分可以这样理解： 2πR 是圆周长，当半径R 变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大?R 所引起的圆面积变化就是2πR ?R 。 这就是圆面积的微分，它与?R 成正比，与圆面积真正的变化之差是较?R 高阶的无穷小，当然圆不可能保持周长不变而膨胀，这只是一种设想而已，但当?R 很小时，两者之差就更小了。 例3 设正方形的边长为x ，则面积为 f (x ) =x 2 ?f (x ) ＝(x +?x ) 2-x 2＝2x ?x ＋(?x ) 2 即?f (x ) 可表为?x 的线性函数和?x 的高阶无穷小量之和，故f (x ) 在x 点可微，且微分 dy ＝2x ?x ． 可微与可导的关系： 定理4.5 函数y ＝f (x ) 在x 点可微的充要条件是：函数f (x ) 在x 点可导．这时微分中?x 的系数A =f (x ) ． 证明 充分性前面已证。 必要性．设f (x ) 在x 点可微，由定义知 ?y =A ?x +o (?x ) ?y A ?x +o (?x ) 因此 l i =l i m ＝A ?x →0?x →0?x ?x 故f (x ) 在x 点可导，且f (x ) ＝A 规定：自变量的微分dx 等于自变量的改变量?x ， 这样微分公式又可写成 dy =f (x ) dx 于是有dy dy =f (x ) ，在定义导数（微商）时，符号是作为一个整体， dx dx 而现在微商可以看作是微分之商．也就是说，微商的确是微分之商． 微分的几何意义： 微分是曲线y =f (x ) 在(x , y ) 处的切线对应的改变量．用微分d