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求多项式函数实数根的方法 求多项式函数实数根的方法 第29卷　第5期 Vol. 29No. 5昭通师范高等专科学校学报Journal of Zhaotong Teacher πs College 2021年10月Oct. 2021●数学 求多项式函数实数根的方法黄　永, 　　　康道坤(昭通师范高等专科学校数学系, 　云南　昭通　657000) 摘要:较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法. 关键词:实系数; 　多项式函数; 　实数根 中图分类号:O151.1　　　文献标志码:A　　　文章编号:100829322(2021) 0520008204 关于实系数多项式函数 n n-1i f (x ) =a 0x +a 1x +?+a i x +a n 0) (1) 的实数根的求法, , 不够系统, 且寻找根的方法缺乏程序化. , 函数实数根的方法. 1为节省篇幅, 在此仅给出涉及到的有关定理和方法, 其证明可参阅相关文献. 定理1[1]　n 次多项式f (x ) 至多有n 个不同的根. 定理2(笛卡尔符号律) [2]　多项式函数f (x ) 的正实根个数等于f (x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数; f (x ) 的负实根个数等于f (-x ) 的非零系数的符号变化个数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数. 定理3[1]　数c 是f (x ) 的根的充分必要条件是f (x ) 能被x -c 整除. 定理4[1]　每个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积. 定理5[1]　设(1) 式中Πi =0, 1, ?,n , a i ∈　, 即f (x ) 是整系数多项式, 若a n ≠0, 且有理数u/v 是f (x ) 的一个根, u ∈　, v ∈　*, (u , v ) =1, 那么: (i ) 　v |a 0, u |a n ; (ii ) 　f (x ) /(x -u/v ) 是一个整系数多项式. 定理6(根的上下界定理) 是f (x ) 的根的一个上界; [2]　设(1) 式中a 00, 1) 　若存在正实数M , 当用x -M 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字仅出现正数或0, 那么M 就 2) 若存在不大于0的实数m , 当用x -m 去对f (x ) 作综合除法时第三行数字交替地出现正数(或0) 和负数(或0) 时, 那么m 就是f (x ) 的根的一个下界. 定理7(判断根上下界的牛顿法) [3](k ) , ?,f 　设有实数k , 使f (k ) , f ′ [3](m ) (k ) , ?f (n ) (k ) 均为非负数, 或均为非正数, 则方程f (x ) =0的实根都小于k. 这里f 定理8(判断根上下界的拉格朗日法) 收稿日期:2021209210(x ) 表示f (x ) 的m 阶导数. 　设(1) 式中a 00, 且a k 为第一个负系数, 即a k ) , 女, 云南彝良人, 讲师, 学士, 主要从事数学教育研究. 作者简介:黄永(1966— 黄永, 康道坤求多项式函数实数根的方法 k 第5期Πi (x ) 互素. 定理9[1]　多项式f (x ) 无重根的充分且必要条件是f (x ) 与它的导数f ′ 定理10(St urm 定理) [3]　设多项式f (x ) 无重根,b 1 f 0(b 1) , f 1 1(b 1) , ?,f s (b 1) , ?,f (b 2) , ?,f s (b 2) , ?,f m m (b 1) (b 2) 与f 0(b 2) , f 的变号的个数, 则p =U (b 1) -U (b 2) . 定理11[3]　设f (x ) 为实系数多项式, D (f ) 为f (x ) 的根的判别式, 则当D (f ) =0时, 方程f (x ) =0有重根; 当D (f ) 0时方程f (x ) =0无重根, 且有偶数对虚根. 对(1) 式中的f (x ) , D (f ) 定义为: n (n -1) /2-1) , D (f ) =(-1) a 0R (f , f ′ ) 称为f 和f ′其中f ′为f (x ) 的导函数, R (f , f ′的结式, 是由f (x ) 2n -1阶方 阵R 的行列式. 如果当k n 或k 方法:综合除法[1], [1], 、牛顿法[3]. 2　, 我们可得